Geometrik Dizi Hesaplayıcı
İlk terimi ve ortak oranı girerek geometrik bir dizinin herhangi bir terimini, ilk n terimin toplamını ve — oran −1 ile 1 arasındayken — tüm sonsuz serinin toplamını alın. Ya da bildiğiniz iki terimi verin; hesap makinesi a₁ ve r'yi geriye doğru bulur. Yanıtlar tam kesirlerdir ve her formül sizin sayılarınızla gösterilir. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Her seferinde bununla çarpın. Negatif olursa işaretler değişir.
1 ile 2000 arasında bir tam sayı.
Sonuçlar
1536
Terim a₁₀
3069
İlk 10 terimin toplamı S₁₀
Sonlu toplam yok
Tüm terimlerin toplamı, S∞
2
Ortak oran
3
İlk terim
|r| 1'den büyük, dolayısıyla terimler sınırsız büyür.
Genel formül
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Çalışma
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
Sonsuz seri yalnızca |r| < 1 iken yakınsar. |r| 1 ya da daha büyükse terimler küçülmez, dolayısıyla toplamın sonlu bir değeri yoktur.
Dizi
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Geometrik Dizi Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Neyi bildiğinizi seçin. İlk terim ve ortak oran olağan durumdur. Dizinin iki terimi, 'ikinci terim 6, beşinci terim 162' gibi soruları çözer. Bir değerin nerede durduğunu bulun, hangi terimin bir sayıya eşit olduğunu söyler.
- 2. Değerleri girin. Tam sayılar, ondalık sayılar ve 1/2 gibi kesirler çalışır. Oran negatif ya da kesir olabilir. Terim numaraları 1 ile 2.000 arasındadır.
- 3. Kartları okuyun. aₙ terimini, Sₙ toplamını, sonsuz toplamı — ya da |r| ≥ 1 iken Sonlu toplam yok — oranı ve ilk terimi alırsınız. 40 haneden uzun değerler bilimsel gösterimle gösterilir.
- 4. Çalışmayı izleyin. Formüller sizin sayılarınızla yazılır, ardından ilk birkaç terim gelir.
Formüller
Geometrik bir dizi, her terimden bir sonrakine geçmek için aynı ortak oran r ile çarpılır: a₁, a₁r, a₁r², …. Buna göre n'inci terim ile ilk n terimin toplamı şöyledir:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (yalnızca |r| < 1 iken)
Toplam formülü, Sₙ'den r·Sₙ'nin çıkarılmasıyla elde edilir: neredeyse her terim birbirini götürür ve Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ) kalır. |r| < 1 iken rⁿ, n arttıkça 0'a doğru küçülür; dolayısıyla kısmi toplamlar a₁ ÷ (1 − r) değerinde yerleşir. |r| ≥ 1 iken yerleşmezler ve sonsuz serinin sonlu bir toplamı yoktur.
Çalışılmış Örnekler
- Terim ve toplam. 3, 6, 12, … için a₁ = 3 ve r = 2. Onuncu terim 3 × 2⁹ = 1.536 ve ilk 10 terimin toplamı 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3.069'dur.
- İki terimden. a₂ = 6 ve a₅ = 162 ise r³ = 162 ÷ 6 = 27, dolayısıyla r = 3. Sonra a₁ = 6 ÷ 3 = 2 ve dizi 2, 6, 18, 54, 162, …'dir. İki terim çift sayıda adım ara ile ayrıldığında, örneğin r² = 4 olduğunda, iki gerçek yanıt vardır (2 ve −2) ve hesap makinesi ikisini de gösterir.
- Sonsuz toplam. 8, −8/3, 8/9, … için a₁ = 8 ve r = −1/3, dolayısıyla S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. Aynı formül, 0,999… = 1 olduğunu da gösterir: bu, 0,9 + 0,09 + 0,009 + … toplamıdır; a₁ = 0,9 ve r = 0,1, dolayısıyla S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- Satranç tahtası. İlk kareye bir tane tahıl, 64 karenin her birinde iki katına çıkarak: a₁ = 1, r = 2, n = 64, dolayısıyla S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 tane tahıl.
| Oran r | Dizi ne yapar | Sonsuz toplam |
|---|---|---|
| r > 1 | Sınırsız büyür | Yok |
| r = 1 | Sabit kalır | Yok (a₁ = 0 değilse) |
| 0 < r < 1 | 0'a doğru küçülür | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | İşaret değiştirir ve küçülür | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | a₁ ile −a₁ arasında değişir | Yok |
| r < −1 | İşaret değiştirir ve büyür | Yok |
Sık sorulan sorular
- Geometrik dizinin n'inci terimi için formül nedir?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), burada a₁ ilk terim ve r ortak orandır. 5, 10, 20, … için aₙ = 5 · 2^(n − 1) olur; dolayısıyla 8. terim 5 × 128 = 640'tır.
- Ortak oranı nasıl bulursunuz?
- Herhangi bir terimi bir önceki terime bölün. 4, 12, 36, 108'de her bölme 3 verir. Yalnızca komşu olmayan iki terim biliyorsanız, bölümlerinin k'inci kökünü alın; burada k, aralarındaki adım sayısıdır: a₂ = 6 ve a₅ = 162 ile r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Sonsuz bir geometrik serinin toplamı ne zaman vardır?
- Tam olarak |r| < 1 iken — oran −1 ile 1 arasındadır, sınırlar dahil değildir. O zaman S∞ = a₁ ÷ (1 − r). 1 + 1/2 + 1/4 + … için bu 1 ÷ (1/2) = 2'dir. |r| ≥ 1 ise terimler küçülmez ve toplamın sonlu bir değeri yoktur.
- Aritmetik ve geometrik diziler arasındaki fark nedir?
- Aritmetik bir dizi sabit bir sayı ekler (2, 5, 8, 11); geometrik bir dizi ise sabit bir sayıyla çarpar (2, 6, 18, 54). İlkinde farklar sabittir; ikincisinde oranlar sabittir. Sayı Dizisi Çözücü ikisini de sizin için sınar.
- Ortak oran negatif ya da kesir olabilir mi?
- Evet. Negatif bir oran işaretleri değiştirir (3, −6, 12, −24) ve −1 ile 1 arasında bir kesir terimleri küçültür (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Burada 0 oranına izin verilir, ancak o zaman ilk terimden sonraki her terim 0 olur.
- r = 1 iken toplam formülü ne verir?
- a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) formülü sıfıra bölerdi; bu yüzden bunun yerine Sₙ = n · a₁ kullanın: her terim a₁'e eşittir ve n tane vardır. Hesap makinesi bu biçime otomatik olarak geçer.
- Geometrik diziler gerçek hayatta nerede görülür?
- Bileşik faiz geometriktir: yıllık %5 faizle 1.000 birimin n yıl sonraki değeri 1.000 · 1,05ⁿ'dir. Nüfus artışı, amortisman, radyoaktif bozunma ve bir topun zıplama yükseklikleri, 1'den büyük ya da küçük bir oranla aynı örüntüyü izler.