Calcolatore di successioni geometriche
Inserisci il primo termine e la ragione comune per ottenere un termine qualsiasi di una successione geometrica, la somma dei primi n termini e — quando la ragione è compresa tra −1 e 1 — la somma dell'intera serie infinita. Oppure indica due termini che conosci e il calcolatore risale ad a₁ e r. Le risposte sono frazioni esatte, e ogni formula è mostrata con i tuoi numeri sostituiti. Gratuito, senza registrazione.
Moltiplica per questo numero ogni volta. Un valore negativo fa alternare i segni.
Un numero intero da 1 a 2000.
Risultati
1536
Termine a₁₀
3069
Somma S₁₀ dei primi 10 termini
Nessuna somma finita
Somma di tutti i termini, S∞
2
Ragione comune
3
Primo termine
|r| è maggiore di 1, quindi i termini crescono senza limiti.
Formula generale
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Procedimento
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
La serie infinita converge solo quando |r| < 1. Con |r| pari o superiore a 1 i termini non si riducono, quindi la somma non ha un valore finito.
La successione
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Come usare il calcolatore di successioni geometriche
- 1. Scegli che cosa conosci. Primo termine e ragione comune è il caso usuale. Due termini della successione gestisce domande come «il 2° termine è 6 e il 5° è 162». Trova dove si trova un valore ti dice quale termine è uguale a un numero.
- 2. Inserisci i valori. Vanno bene numeri interi, decimali e frazioni come 1/2. La ragione può essere negativa o una frazione. I numeri dei termini vanno da 1 a 2000.
- 3. Leggi le schede. Ottieni il termine aₙ, la somma Sₙ, la somma all'infinito — oppure Nessuna somma finita quando |r| ≥ 1 — la ragione e il primo termine. I valori con più di 40 cifre sono mostrati in notazione scientifica.
- 4. Segui il procedimento. Le formule sono scritte con i tuoi numeri, seguite dai primi termini.
Le formule
Una successione geometrica si moltiplica per la stessa ragione comune r per passare da ciascun termine al successivo: a₁, a₁r, a₁r², …. Quindi l'n-esimo termine e la somma dei primi n termini sono:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (solo quando |r| < 1)
La formula della somma deriva dal sottrarre r·Sₙ da Sₙ: quasi tutti i termini si annullano, lasciando Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Quando |r| < 1, rⁿ si riduce verso 0 al crescere di n, quindi le somme parziali tendono a a₁ ÷ (1 − r). Quando |r| ≥ 1 non tendono a nessun valore, e la serie infinita non ha una somma finita.
Esempi svolti
- Termine e somma. Per 3, 6, 12, … a₁ = 3 e r = 2. Il decimo termine è 3 × 2⁹ = 1536 e la somma dei primi 10 è 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- Da due termini. Se a₂ = 6 e a₅ = 162, allora r³ = 162 ÷ 6 = 27, quindi r = 3. Poi a₁ = 6 ÷ 3 = 2, e la successione è 2, 6, 18, 54, 162, …. Quando i due termini distano un numero pari di passi, per esempio r² = 4, ci sono due risposte reali (2 e −2), e il calcolatore le mostra entrambe.
- Somma infinita. Per 8, −8/3, 8/9, … a₁ = 8 e r = −1/3, quindi S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. La stessa formula mostra perché 0,999… = 1: è 0,9 + 0,09 + 0,009 + … con a₁ = 0,9 e r = 0,1, quindi S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- La scacchiera. Un chicco sulla prima casella, raddoppiando in ciascuna delle 64 caselle: a₁ = 1, r = 2, n = 64, quindi S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 chicchi.
| Ragione r | Che cosa fa la successione | Somma infinita |
|---|---|---|
| r > 1 | Cresce senza limiti | Nessuna |
| r = 1 | Costante | Nessuna (a meno che a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Si riduce verso 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Alterna il segno e si riduce | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Alterna tra a₁ e −a₁ | Nessuna |
| r < −1 | Alterna e cresce | Nessuna |
Domande frequenti
- Qual è la formula dell'n-esimo termine di una successione geometrica?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), dove a₁ è il primo termine e r è la ragione comune. Per 5, 10, 20, … dà aₙ = 5 · 2^(n − 1), quindi l'8° termine è 5 × 128 = 640.
- Come si trova la ragione comune?
- Dividi un qualsiasi termine per quello che lo precede. In 4, 12, 36, 108 ogni divisione dà 3. Se conosci solo due termini che non sono vicini, prendi la radice k-esima del loro quoziente, dove k è il numero di passi tra di essi: con a₂ = 6 e a₅ = 162, r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Quando una serie geometrica infinita ha una somma?
- Esattamente quando |r| < 1 — la ragione è compresa tra −1 e 1, esclusi questi valori. Allora S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Per 1 + 1/2 + 1/4 + … è 1 ÷ (1/2) = 2. Se |r| ≥ 1 i termini non si riducono e la somma non ha un valore finito.
- Qual è la differenza tra successioni aritmetiche e geometriche?
- Una successione aritmetica somma una costante (2, 5, 8, 11); una geometrica moltiplica per una costante (2, 6, 18, 54). Nella prima le differenze sono costanti; nella seconda lo sono i rapporti. Il Risolutore di successioni numeriche verifica entrambe per te.
- La ragione comune può essere negativa o una frazione?
- Sì. Una ragione negativa fa alternare i segni (3, −6, 12, −24) e una frazione tra −1 e 1 fa ridurre i termini (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Una ragione pari a 0 è ammessa, ma ogni termine dopo il primo è allora 0.
- Che cosa dà la formula della somma quando r = 1?
- La formula a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) divide per zero, quindi usa Sₙ = n · a₁: ogni termine è uguale ad a₁, e ce ne sono n. Il calcolatore passa automaticamente a questa forma.
- Dove compaiono le successioni geometriche nella vita reale?
- L'interesse composto è geometrico: 1.000 al 5% annuo valgono 1.000 · 1,05ⁿ dopo n anni. La crescita di una popolazione, il deprezzamento, il decadimento radioattivo e le altezze dei rimbalzi di una palla seguono lo stesso schema con una ragione sopra o sotto 1.