Calculateur de suite géométrique
Saisissez le premier terme et la raison commune pour obtenir n'importe quel terme d'une suite géométrique, la somme des n premiers termes et — lorsque la raison est comprise entre −1 et 1 — la somme de la série infinie entière. Ou donnez deux termes connus : le calculateur retrouve a₁ et r. Les résultats sont des fractions exactes, et chaque formule est affichée avec vos nombres. Gratuit, sans inscription.
Multipliez par cette valeur à chaque pas. Une valeur négative fait alterner les signes.
Un nombre entier de 1 à 2000.
Résultats
1536
Terme a₁₀
3069
Somme S₁₀ des 10 premiers termes
Pas de somme finie
Somme de tous les termes, S∞
2
Raison commune
3
Premier terme
|r| est supérieur à 1, donc les termes croissent sans limite.
Formule générale
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Calcul détaillé
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
La série infinie ne converge que lorsque |r| < 1. Avec |r| égal à 1 ou plus, les termes ne diminuent pas, et la somme n'a pas de valeur finie.
La suite
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Comment utiliser le calculateur de suite géométrique
- 1. Choisissez ce que vous connaissez. Premier terme et raison commune est le cas habituel. Deux termes de la suite traite les questions du type « le deuxième terme vaut 6 et le cinquième vaut 162 ». Trouver la place d'une valeur indique quel terme est égal à un nombre donné.
- 2. Saisissez les valeurs. Les nombres entiers, les décimaux et les fractions comme 1/2 sont tous acceptés. La raison peut être négative ou une fraction. Les rangs des termes vont de 1 à 2 000.
- 3. Lisez les cartes. Vous obtenez le terme aₙ, la somme Sₙ, la somme à l'infini — ou Pas de somme finie lorsque |r| ≥ 1 —, ainsi que la raison et le premier terme. Les valeurs de plus de 40 chiffres sont affichées en notation scientifique.
- 4. Suivez le calcul. Les formules sont écrites avec vos nombres, suivies des premiers termes.
Les formules
Une suite géométrique se multiplie par la même raison commune r pour passer d'un terme au suivant : a₁, a₁r, a₁r², …. Le terme de rang n et la somme des n premiers termes sont donc :
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (seulement si |r| < 1)
La formule de la somme provient de la soustraction de r·Sₙ à Sₙ : presque tous les termes s'annulent, ce qui laisse Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Lorsque |r| < 1, rⁿ tend vers 0 quand n augmente, si bien que les sommes partielles se stabilisent à a₁ ÷ (1 − r). Lorsque |r| ≥ 1, elles ne se stabilisent pas, et la série infinie n'a pas de somme finie.
Exemples détaillés
- Terme et somme. Pour 3, 6, 12, … a₁ = 3 et r = 2. Le dixième terme vaut 3 × 2⁹ = 1536, et la somme des 10 premiers vaut 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- À partir de deux termes. Si a₂ = 6 et a₅ = 162, alors r³ = 162 ÷ 6 = 27, donc r = 3. Ensuite a₁ = 6 ÷ 3 = 2, et la suite est 2, 6, 18, 54, 162, …. Lorsque les deux termes sont séparés par un nombre pair de pas, par exemple r² = 4, il y a deux réponses réelles (2 et −2), et le calculateur les affiche toutes les deux.
- Somme infinie. Pour 8, −8/3, 8/9, … a₁ = 8 et r = −1/3, donc S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. La même formule montre pourquoi 0,999… = 1 : c'est 0,9 + 0,09 + 0,009 + … avec a₁ = 0,9 et r = 0,1, donc S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- L'échiquier. Un grain sur la première case, puis un doublement sur chacune des 64 cases : a₁ = 1, r = 2, n = 64, donc S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains.
| Raison r | Ce que fait la suite | Somme infinie |
|---|---|---|
| r > 1 | Croît sans limite | Aucune |
| r = 1 | Constante | Aucune (sauf si a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Diminue vers 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Alterne de signe et diminue | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Alterne entre a₁ et −a₁ | Aucune |
| r < −1 | Alterne et croît | Aucune |
Questions fréquentes
- Quelle est la formule du terme de rang n d'une suite géométrique ?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), où a₁ est le premier terme et r la raison commune. Pour 5, 10, 20, … cela donne aₙ = 5 · 2^(n − 1), donc le huitième terme vaut 5 × 128 = 640.
- Comment trouver la raison commune ?
- Divisez un terme quelconque par celui qui le précède. Dans 4, 12, 36, 108, chaque division donne 3. Si vous ne connaissez que deux termes non consécutifs, prenez la racine k-ième de leur quotient, où k est le nombre de pas qui les séparent : avec a₂ = 6 et a₅ = 162, r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Quand une série géométrique infinie a-t-elle une somme ?
- Exactement lorsque |r| < 1 : la raison est comprise entre −1 et 1, bornes exclues. Alors S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Pour 1 + 1/2 + 1/4 + …, cela donne 1 ÷ (1/2) = 2. Si |r| ≥ 1, les termes ne diminuent pas et la somme n'a pas de valeur finie.
- Quelle est la différence entre suites arithmétiques et suites géométriques ?
- Une suite arithmétique ajoute une constante (2, 5, 8, 11) ; une suite géométrique multiplie par une constante (2, 6, 18, 54). Dans la première, les écarts sont constants ; dans la seconde, ce sont les rapports. Le Number Sequence Solver teste les deux pour vous.
- La raison commune peut-elle être négative ou une fraction ?
- Oui. Une raison négative fait alterner les signes (3, −6, 12, −24), et une fraction comprise entre −1 et 1 fait diminuer les termes (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Une raison égale à 0 est admise ici, mais chaque terme après le premier est alors nul.
- Que donne la formule de la somme lorsque r = 1 ?
- La formule a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) diviserait par zéro ; on utilise donc Sₙ = n · a₁ à la place : chaque terme vaut a₁, et il y en a n. La calculatrice bascule automatiquement sur cette forme.
- Où trouve-t-on des suites géométriques dans la vie réelle ?
- Les intérêts composés sont géométriques : 1 000 à 5 % par an valent 1 000 · 1,05ⁿ après n ans. La croissance démographique, l'amortissement, la décroissance radioactive et la hauteur des rebonds d'une balle suivent le même schéma, avec une raison supérieure ou inférieure à 1.