حاسبة المتتالية الهندسية
أدخل الحد الأول والنسبة المشتركة لتحصل على أي حد من متتالية هندسية، ومجموع أول n حدًا، وعندما تقع النسبة بين −1 و1، مجموع السلسلة اللانهائية كلها. أو أعطِ حدين تعرفهما فتعمل الحاسبة عكسيًا لتصل إلى a₁ وr. الأجوبة كسور دقيقة، وكل صيغة معروضة مع تعويض أرقامك. مجاني، ولا حاجة للتسجيل.
تُضرب فيها في كل مرة. والسالب يجعل الإشارات تتناوب.
عدد صحيح من 1 إلى 2000.
النتائج
1536
الحد a₁₀
3069
المجموع S₁₀ لأول 10 حدًا
لا يوجد مجموع منتهٍ
مجموع كل الحدود، S∞
2
النسبة المشتركة
3
الحد الأول
|r| أكبر من 1، لذلك تنمو الحدود إلى ما لا نهاية.
الصيغة العامة
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
الحل
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
تتقارب السلسلة اللانهائية فقط عندما يكون |r| < 1. وعندما يكون |r| يساوي 1 أو أكثر لا تتقلص الحدود، فلا يكون للمجموع قيمة منتهية.
المتتالية
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
كيفية استخدام حاسبة المتتالية الهندسية
- 1. اختر ما تعرفه. الحد الأول والنسبة المشتركة هي الحالة المعتادة. وحدان من المتتالية يتعامل مع أسئلة مثل «الحد الثاني 6 والخامس 162». وحدّد موقع قيمة يخبرك أي حد يساوي عددًا معينًا.
- 2. أدخل القيم. تعمل الأعداد الصحيحة والكسور العشرية والكسور مثل 1/2. ويمكن أن تكون النسبة سالبة أو كسرًا. وتتراوح أرقام الحدود من 1 إلى 2000.
- 3. اقرأ البطاقات. تحصل على الحد aₙ، والمجموع Sₙ، ومجموع اللانهاية، أو لا يوجد مجموع منتهٍ عندما يكون |r| ≥ 1، إضافةً إلى النسبة والحد الأول. وتظهر القيم التي تزيد على 40 منزلة بالترميز العلمي.
- 4. تابع الحل. تُكتب الصيغ مع أرقامك، يتبعها أول بضعة حدود.
الصيغ
تضرب المتتالية الهندسية في النسبة المشتركة r نفسها للانتقال من كل حد إلى الذي يليه: a₁، a₁r، a₁r²، …. لذلك فالحد النوني ومجموع أول n حدًا هما:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (فقط عندما |r| < 1)
تأتي صيغة المجموع من طرح r·Sₙ من Sₙ: تُلغى كل الحدود تقريبًا، فيبقى Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). وعندما يكون |r| < 1 تتقلص rⁿ نحو 0 كلما كبرت n، فتستقر المجاميع الجزئية عند a₁ ÷ (1 − r). وعندما يكون |r| ≥ 1 لا تستقر، فليس للسلسلة اللانهائية مجموع منتهٍ.
أمثلة تطبيقية
- الحد والمجموع. للمتتالية 3، 6، 12، … يكون a₁ = 3 وr = 2. والحد العاشر هو 3 × 2⁹ = 1536، ومجموع أول 10 حدود هو 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- من حدين. إذا كان a₂ = 6 وa₅ = 162، فإن r³ = 162 ÷ 6 = 27، إذن r = 3. ثم a₁ = 6 ÷ 3 = 2، فتكون المتتالية 2، 6، 18، 54، 162، …. وعندما يفصل بين الحدين عدد زوجي من الخطوات، كأن يكون r² = 4 مثلًا، يوجد جوابان حقيقيان (2 و−2)، وتعرض الحاسبة الجوابين.
- المجموع اللانهائي. للمتتالية 8، −8/3، 8/9، … يكون a₁ = 8 وr = −1/3، إذن S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. وتوضح الصيغة نفسها لماذا 0.999… = 1: فهو 0.9 + 0.09 + 0.009 + … بحدّ أول a₁ = 0.9 ونسبة r = 0.1، إذن S∞ = 0.9 ÷ 0.9 = 1.
- رقعة الشطرنج. حبة واحدة في المربع الأول، ويتضاعف العدد في كل مربع من المربعات الـ 64: a₁ = 1، وr = 2، وn = 64، إذن S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18446744073709551615 حبة.
| النسبة r | ماذا تفعل المتتالية | المجموع اللانهائي |
|---|---|---|
| r > 1 | تنمو إلى ما لا نهاية | لا يوجد |
| r = 1 | ثابتة | لا يوجد (إلا إذا كان a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | تتقلص نحو 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | تتناوب في الإشارة وتتقلص | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | تتناوب بين a₁ و−a₁ | لا يوجد |
| r < −1 | تتناوب وتنمو | لا يوجد |
الأسئلة الشائعة
- ما صيغة الحد النوني للمتتالية الهندسية؟
- aₙ = a₁ · r^(n − 1)، حيث a₁ هو الحد الأول وr النسبة المشتركة. فللمتتالية 5، 10، 20، … تكون aₙ = 5 · 2^(n − 1)، لذلك فالحد الثامن هو 5 × 128 = 640.
- كيف تجد النسبة المشتركة؟
- اقسم أي حد على الحد الذي يسبقه. ففي 4، 12، 36، 108 يعطي كل قسمة 3. وإذا كنت تعرف حدين غير متجاورين فقط، فخذ الجذر ذا الرتبة k لحاصل قسمتهما، حيث k عدد الخطوات بينهما: فمع a₂ = 6 وa₅ = 162 يكون r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- متى يكون للسلسلة الهندسية اللانهائية مجموع؟
- عندما يكون |r| < 1 بالضبط، أي عندما تقع النسبة بين −1 و1 دون أن تشملهما. فعندئذٍ S∞ = a₁ ÷ (1 − r). ومثلًا 1 + 1/2 + 1/4 + … يساوي 1 ÷ (1/2) = 2. وإذا كان |r| ≥ 1 فالحدود لا تتقلص، ولا يكون للمجموع قيمة منتهية.
- ما الفرق بين المتتاليات الحسابية والهندسية؟
- تضيف المتتالية الحسابية عددًا ثابتًا (2، 5، 8، 11)، أما الهندسية فتضرب في عدد ثابت (2، 6، 18، 54). الفروق ثابتة في الأولى، والنسب ثابتة في الثانية. وتختبر لك Number Sequence Solver الاثنتين.
- هل يمكن أن تكون النسبة المشتركة سالبة أو كسرًا؟
- نعم. تجعل النسبة السالبة الإشارات تتناوب (3، −6، 12، −24)، ويجعل الكسر بين −1 و1 الحدود تتقلص (81، 27، 9، 3، 1، 1/3). والنسبة 0 مسموحة هنا، لكن كل حد بعد الأول يكون حينها 0.
- ماذا تعطي صيغة المجموع عندما يكون r = 1؟
- ستقسم الصيغة a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) على صفر، لذلك استخدم بدلًا منها Sₙ = n · a₁: كل حد يساوي a₁، وعددها n. وتنتقل الحاسبة إلى هذا الشكل تلقائيًا.
- أين تظهر المتتاليات الهندسية في الحياة الواقعية؟
- الفائدة المركّبة هندسية: 1000 بنسبة 5% سنويًا تساوي 1000 · 1.05ⁿ بعد n سنة. ونمو السكان والإهلاك والاضمحلال الإشعاعي وارتفاعات ارتداد الكرة تتبع النمط نفسه، بنسبة أعلى من 1 أو أدنى منه.