ما صيغة الفائدة المركّبة؟

A = P(1 + r/n)nt، حيث P المبلغ الابتدائي، وr المعدل السنوي الاسمي كنسبة عشرية، وn عدد فترات التراكم في السنة، وt المدة بالسنوات. والفائدة المكتسبة هي A − P. وللتراكم المستمر استخدم A = Pert.

كيف أحسب الفائدة المركّبة مع دفعات شهرية؟

احسب نمو المبلغ الابتدائي بالصيغة أعلاه، ثم أضف القيمة المستقبلية للإيداعات: D × ((1 + i)N − 1) ÷ i، حيث i = r ÷ 12 وN عدد الأشهر. تقوم هذه الحاسبة بالجزأين وتعرض الحساب. وللإيداعات في بداية كل شهر، اضرب جزء الإيداعات في 1 + i.

هل يهم أن تتراكم الفائدة يوميًا أم شهريًا؟

قليلًا. فبمبلغ 10,000 بمعدل 6% لمدة 10 سنوات، يعطي التراكم الشهري 18,193.97 واليومي 18,220.29 — بفارق نحو 26. ويكبر الفارق مع المعدلات الأعلى والمدد الأطول، لكن المعدل وعدد السنوات يهمان أكثر بكثير.

ما الفرق بين الفائدة المركّبة والبسيطة؟

الفائدة البسيطة تُحسب على المبلغ الأصلي وحده، فتنمو بالمقدار نفسه في كل فترة. أما المركّبة فتُحسب على الرصيد شاملًا الفائدة السابقة، فيتسارع النمو. وللمقارنة استخدم حاسبة الفائدة البسيطة.

اختصار: اقسم 72 على المعدل السنوي المئوي لتقدير السنوات اللازمة لمضاعفة المال. عند 6% تكون 72 ÷ 6 = 12 سنة. والرقم الدقيق لـ 6% مركّبة شهريًا نحو 11.6 سنة، فالقاعدة تقدير سريع لا نتيجة.

ما الفرق بين APR وAPY؟

APR هنا هو المعدل السنوي الاسمي، وAPY هو المعدل السنوي الفعّال بعد التراكم. فمعدل 6% مركّب شهريًا له APY قدره 6.1678%. وقد تعرّف البنوك وجهات الإقراض APR وAPY وفق أنظمتها الخاصة، لذا في منتج حقيقي استخدم الأرقام التي يفصح عنها.

حاسبة الفائدة المركّبة

أدخل مبلغًا ابتدائيًا ومعدلًا للفائدة ومدة وعدد مرات تراكم الفائدة — وأضف إيداعات منتظمة إن شئت — لتحصل على القيمة المستقبلية والفائدة المكتسبة وجدولًا سنويًا مع مخطط للنمو. وحسابه مكتوب خطوة بخطوة لتتحقق منه بكتاب مقرّر أو جدول بيانات. مجاني ودون تسجيل.

أرقامك

العملة

المبلغ الابتدائي

المعدل السنوي للفائدة (%)

المدة (بالسنوات)

تُراكَم الفائدة

إيداع منتظم

تُدفع الإيداعات

يقع كل إيداع في

نهاية كل فترةبداية كل فترة

المعدل المدخل معدل سنوي اسمي؛ ينمو الرصيد بالعامل (1 + r ÷ m) في كل فترة تراكم.

النتائج

‏50,969.84 US$

القيمة المستقبلية

‏34,000.00 US$

إجمالي ما أودعته

‏16,969.84 US$

الفائدة المكتسبة

6.1678%

المعدل السنوي الفعّال (APY)

طريقة الحساب

المبلغ الابتدائي: 10,000.00 × (1 + 0.06 ÷ 12)^(12 × 10) = 18,193.97

الإيداعات: 120 بقيمة 200.00، نمت حتى نهاية المدة = 32,775.87

القيمة المستقبلية: 18,193.97 + 32,775.87 = 50,969.84

المعدل السنوي الفعّال: (1 + 0.06 ÷ 12)^12 − 1 = 6.167781%

سنة بسنة

السنة	الإيداعات	الفائدة	إجمالي ما أودعته	الرصيد
1	‏2,400.00 US$	‏683.89 US$	‏12,400.00 US$	‏13,083.89 US$
2	‏2,400.00 US$	‏874.10 US$	‏14,800.00 US$	‏16,357.99 US$
3	‏2,400.00 US$	‏1,076.04 US$	‏17,200.00 US$	‏19,834.03 US$
4	‏2,400.00 US$	‏1,290.43 US$	‏19,600.00 US$	‏23,524.46 US$
5	‏2,400.00 US$	‏1,518.05 US$	‏22,000.00 US$	‏27,442.51 US$
6	‏2,400.00 US$	‏1,759.71 US$	‏24,400.00 US$	‏31,602.21 US$
7	‏2,400.00 US$	‏2,016.27 US$	‏26,800.00 US$	‏36,018.48 US$
8	‏2,400.00 US$	‏2,288.65 US$	‏29,200.00 US$	‏40,707.14 US$
9	‏2,400.00 US$	‏2,577.84 US$	‏31,600.00 US$	‏45,684.97 US$
10	‏2,400.00 US$	‏2,884.86 US$	‏34,000.00 US$	‏50,969.84 US$

كيفية استخدام حاسبة الفائدة المركّبة

1. اختر العملة. تُنسَّق المبالغ وفق العملة التي تختارها ولغتك. اختر بلا عملة لرؤية أرقام مجردة.
2. أدخل الرصيد والمعدل والمدة. المعدل معدل سنوي اسمي — الرقم الذي يعلنه البنك قبل احتساب التراكم. والمدة بالسنوات؛ اكتب 2.5 لسنتين ونصف.
3. اختر طريقة تراكم الفائدة. من السنوي إلى اليومي، أو المستمر. وهذا يغيّر النتيجة أكثر مما يتوقع معظم الناس عند المعدلات المرتفعة والمدد الطويلة.
4. أضف إيداعات (اختياري). أدخل المبلغ، وعدد مرات دفعه، وهل يقع كل إيداع في بداية الفترة أم في نهايتها. اتركه على 0 لتراكم المبلغ الابتدائي وحده.
5. اقرأ النتائج. تظهر القيمة المستقبلية وإجمالي ما أودعته والفائدة المكتسبة والمعدل السنوي الفعّال فوق مخطط وجدول سنوي.

صيغة الفائدة المركّبة

بمبلغ ابتدائي P، ومعدل سنوي اسمي r، وn فترة تراكم في السنة، وt سنوات، يصبح الرصيد A = P(1 + r/n)^nt. في كل فترة يُضرب الرصيد في 1 + r/n، فتكسب الفائدة المتراكمة من الفترات السابقة فائدة بدورها — وهذا ما يفرّق الفائدة المركّبة عن البسيطة. وفي التراكم المستمر تكون النهاية A = Pe^rt.

الإيداعات المنتظمة بقيمة D تضيف القيمة المستقبلية للدفعات المنتظمة (annuity). فإذا وقعت الإيداعات على تواريخ التراكم ودُفعت في نهاية كل فترة، نمت إلى D × ((1 + i)^N − 1) ÷ i، حيث i = r/n هو المعدل لكل فترة وN عدد الإيداعات. ودفعها في بداية كل فترة (annuity due) يضرب ذلك في 1 + i. وهي الأعراف نفسها التي تستخدمها Excel في دالتها FV، والحاسبة مختبرة على أمثلة Excel الموثقة.

العُرف المعتمد هنا

بين تواريخ الإيداع ينمو الرصيد بالمعدل المكافئ، (1 + r/n)^{n × t}، مع قياس t بالسنوات. وحين تقع الإيداعات على تواريخ التراكم يكون ذلك مطابقًا تمامًا للصيغة المقررة في الكتب. أما إذا أودعت شهريًا في حساب يتراكم سنويًا، فإن البنك الذي يضيف الفائدة مرة واحدة في السنة سيُظهر رصيدًا أقل قليلًا من هذه الحاسبة، فاعتبر تلك الحالة تقديرًا.

مثال تطبيقي

لنبدأ بـ 10,000 بمعدل 6% مركّب شهريًا لمدة 10 سنوات. المعدل الشهري هو 0.06 ÷ 12 = 0.005 وعدد الفترات 120، فيصبح المبلغ الابتدائي 10,000 × 1.005¹²⁰ = 18,193.97 — أي فائدة مكتسبة قدرها 8,193.97.

والآن أضف 200 في نهاية كل شهر. تبلغ الإيداعات 24,000 وتنمو إلى 200 × (1.005¹²⁰ − 1) ÷ 0.005 = 32,775.87. فتكون القيمة المستقبلية 18,193.97 + 32,775.87 = 50,969.84. منها 34,000 مال أودعته، و16,969.84 فائدة. ووضع الإيداعات في بداية كل شهر بدلًا من ذلك يرفع النتيجة إلى 51,133.72.

التراكم (10,000 بمعدل 6% لمدة 10 سنوات)	القيمة المستقبلية
سنويًا	17,908.48
ربع سنوي	18,140.18
شهريًا	18,193.97
يوميًا (365)	18,220.29

التراكم الأكثر تكرارًا يفيد دائمًا، لكن بعوائد متناقصة: الانتقال من السنوي إلى الشهري يضيف هنا 285، بينما الانتقال من الشهري إلى اليومي يضيف 26 فقط. فالمدة التي تبقى فيها المال والمعدل أهم بكثير من جدول التراكم.

قراءة الجدول والمخطط

الإيداعات هي ما دفعته في تلك السنة؛ والفائدة هي ما اكتسبه الرصيد في تلك السنة، فتكون فائدة كل سنة أكبر من سابقتها إذا أبقيت المال مستثمرًا.
إجمالي ما أودعته هو المبلغ الابتدائي مع كل إيداع حتى الآن — والفرق بينه وبين الرصيد هو الفائدة المكتسبة حتى تلك اللحظة.
المعدل السنوي الفعّال (APY) هو المعدل الذي يعطي، إذا تراكم مرة واحدة في السنة، النمو نفسه الذي يعطيه معدلك الاسمي عند التراكم بالتكرار الذي اخترته. فـ 6% مركّبة شهريًا تعادل APY قدره 6.1678%. ويقوم محوِّل APR إلى APY بذلك وحده.
يبدأ المخطط من الصفر حتى لا تبدو الفائدة أكبر مما هي؛ ويمكنك تنزيله بصيغة SVG أو PNG لتقرير.

ما الذي لا تشمله هذه الحاسبة

تنمذج الحاسبة معدلًا ثابتًا دون سحوبات. فالعوائد الحقيقية تتفاوت، والرسوم تقلّلها، وقد تنطبق ضرائب على الفائدة، والتضخم يخفّض ما تشتريه القيمة المستقبلية. وهي حاسبة تعليمية للمقررات الدراسية ولفهم سلوك الصيغة، وليست نصيحة مالية ولا توقعًا لعائد أي منتج.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة الفائدة المركّبة؟: A = P(1 + r/n)^nt، حيث P المبلغ الابتدائي، وr المعدل السنوي الاسمي كنسبة عشرية، وn عدد فترات التراكم في السنة، وt المدة بالسنوات. والفائدة المكتسبة هي A − P. وللتراكم المستمر استخدم A = Pe^rt.
كيف أحسب الفائدة المركّبة مع دفعات شهرية؟: احسب نمو المبلغ الابتدائي بالصيغة أعلاه، ثم أضف القيمة المستقبلية للإيداعات: D × ((1 + i)^N − 1) ÷ i، حيث i = r ÷ 12 وN عدد الأشهر. تقوم هذه الحاسبة بالجزأين وتعرض الحساب. وللإيداعات في بداية كل شهر، اضرب جزء الإيداعات في 1 + i.
هل يهم أن تتراكم الفائدة يوميًا أم شهريًا؟: قليلًا. فبمبلغ 10,000 بمعدل 6% لمدة 10 سنوات، يعطي التراكم الشهري 18,193.97 واليومي 18,220.29 — بفارق نحو 26. ويكبر الفارق مع المعدلات الأعلى والمدد الأطول، لكن المعدل وعدد السنوات يهمان أكثر بكثير.
ما الفرق بين الفائدة المركّبة والبسيطة؟: الفائدة البسيطة تُحسب على المبلغ الأصلي وحده، فتنمو بالمقدار نفسه في كل فترة. أما المركّبة فتُحسب على الرصيد شاملًا الفائدة السابقة، فيتسارع النمو. وللمقارنة استخدم حاسبة الفائدة البسيطة.
ما قاعدة 72؟: اختصار: اقسم 72 على المعدل السنوي المئوي لتقدير السنوات اللازمة لمضاعفة المال. عند 6% تكون 72 ÷ 6 = 12 سنة. والرقم الدقيق لـ 6% مركّبة شهريًا نحو 11.6 سنة، فالقاعدة تقدير سريع لا نتيجة.
ما الفرق بين APR وAPY؟: APR هنا هو المعدل السنوي الاسمي، وAPY هو المعدل السنوي الفعّال بعد التراكم. فمعدل 6% مركّب شهريًا له APY قدره 6.1678%. وقد تعرّف البنوك وجهات الإقراض APR وAPY وفق أنظمتها الخاصة، لذا في منتج حقيقي استخدم الأرقام التي يفصح عنها.