حاسبة التحليل إلى عوامل
أدخل كثير حدود واحصل على تحليله الكامل إلى عوامل على الأعداد الصحيحة، مع كتابة كل خطوة: العامل المشترك الأكبر، ثم فرق المربعات، ومربعات الحدود الكاملة، ومجموع المكعبات وفرقها، وطريقة AC للصيغة ax² + bx + c، أو التجميع، أو مبرهنة الجذر النسبي. تُضرب العوامل مرة أخرى كتحقق، ويُسمّى كثير الحدود الذي لا يمكن تحليله «أوليًا». مجانية دون تسجيل.
متغير واحد، مثلًا 6x^2 + x − 12 أو x^3 + 8 أو 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. تُكتب القوى بـ ^ أو بالأرقام المرفوعة.
الصيغة المحلَّلة
(3x − 4)(2x + 3)
التحليل
تم تحليله بالكامل
الحالة
خطوة بخطوة
طريقة AC: اضرب a × c = 6 × (−12) = −72. أوجد عددين حاصل ضربهما −72 ومجموعهما b = 1: هما −8 و9.
قسّم الحد الأوسط بهذين العددين.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
جمّع الحدود في زوجين، وأخرج من كل زوج عاملًا مشتركًا.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
يشترك الزوجان الآن في قوس؛ أخرجه عاملًا مشتركًا.
(3x − 4)(2x + 3)
التحقق بالفك
ضرب العوامل مرة أخرى يعطي 6x² + x − 12، وهو كثير الحدود الذي أدخلته.
كيفية استخدام حاسبة التحليل إلى عوامل
- 1. اكتب كثير الحدود. مثلًا 6x^2 + x − 12 أو x^3 + 8. استخدم حرفًا واحدًا؛ ويمكن كتابة القوى بـ ^ أو بالأرقام المرفوعة، والأقواس تُفك أولًا.
- 2. اقرأ الصيغة المحلَّلة. تظهر على هيئة جداء، وتُكتب العوامل المتكررة بصورة قوى، وتُخبرك الحاسبة إن كان كثير الحدود أوليًا.
- 3. تابع الخطوات. يسمّي كل سطر الطريقة المستخدمة، ويُظهر كثير الحدود قبل التحليل وبعده، بالترتيب الذي يجرّبه المعلم عادةً.
- 4. تحقّق. تُفكّ العوامل وتُقارَن بما كتبته.
ترتيب الطرق التي تُجرَّب
| ابحث عن | النمط | يُحلَّل إلى |
|---|---|---|
| عامل مشترك في كل الحدود | ab + ac | a(b + c) — دائمًا أولًا، ويشمل إشارة الطرح إذا كان الحد الأول سالبًا |
| حدان، كلاهما مربع كامل، مطروح أحدهما من الآخر | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| حدان، كلاهما مكعب كامل | A³ + B³ أو A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) أو (A − B)(A² + AB + B²) |
| ثلاثة حدود، والحد الأول والأخير مربعان كاملان | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| ثلاثة حدود، ax² + bx + c | عددان حاصل ضربهما ac ومجموعهما b | طريقة AC، أدناه |
| أربعة حدود | أزواج تشترك في قوس | التحليل بالتجميع |
| أي حالة أخرى | جذر نسبي p/q | اقسم على (qx − p) وكرّر |
طريقة AC: 6x² + x − 12
- اضرب a في c. 6 × (−12) = −72.
- أوجد عددين حاصل ضربهما −72 ومجموعهما b = 1: هما −8 و9.
- قسّم الحد الأوسط. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- جمّع كل زوج وحلّله. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- أخرج القوس المشترك. (3x − 4)(2x + 3).
عندما يكون a = 1 تتبسط الطريقة إلى الاختصار المعروف: لـ x² + 5x + 6 أوجد عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 5، أي 2 و3، واكتب (x + 2)(x + 3). وإن لم يوجد زوج صحيح كهذا، فإن المميّز b² − 4ac ليس مربعًا كاملًا، ويكون الحد التربيعي أوليًا على الأعداد الصحيحة.
أمثلة محلولة أخرى
| كثير الحدود | الطريقة | الصيغة المحلَّلة |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | العامل المشترك 3x، ثم فرق المربعات (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | فرق المكعبات (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | التجميع: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | الجذر النسبي x = 1/2، ثم الحد التربيعي | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | حدّان تربيعيان (متطابقة صوفي جيرمين) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
ماذا تعني «أولي» هنا
يكون كثير الحدود أوليًا (أو غير قابل للتحليل) على الأعداد الصحيحة عندما لا يمكن كتابته جداءً لكثيرات حدود أدنى درجة بمعاملات صحيحة. فـ x² + 4 و x² + x + 1 أوليان. والأولية نسبية إلى مجموعة الأعداد المستخدمة: فـ x² − 2 أولي على الأعداد الصحيحة، لكنه يتحلل إلى (x − √2)(x + √2) على الأعداد الحقيقية، وx² + 4 يتحلل إلى (x − 2i)(x + 2i) على الأعداد المركّبة. تحلّل هذه الحاسبة على الأعداد النسبية، وهذا لكثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة يعطي النتيجة نفسها كما على الأعداد الصحيحة.
الحدود
تُحلَّل المعادلات التربيعية والتكعيبية دائمًا إلى عواملها كاملةً. أما من الدرجة الرابعة فأعلى فتستخدم الحاسبة الأنماط والتجميع والجذور النسبية والبحث عن زوج من العوامل التربيعية. ويُعرض أي عامل لا تفكّكه أي من هذه الطرق على أنه متبقٍّ مع ملاحظة، بدل أن يُسمّى أوليًا.
أخطاء شائعة
- إغفال العامل المشترك الأكبر. 2x² + 10x + 12 أسهل كـ 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). أخرج العامل المشترك أولًا دائمًا.
- أخطاء الإشارات في خطوة AC. إذا كان c سالبًا فإن العددين مختلفا الإشارة؛ وإذا كان c موجبًا فإنهما متفقا الإشارة، وتكون إشارتهما إشارة b.
- محاولة تحليل مجموع مربعين. x² + 9 أولي على الأعداد الصحيحة؛ فقط فرق المربعات يتحلل.
- الخلط بين صيغ المكعبات. الإشارة الوسطى في القوس الثاني تكون دائمًا عكس الإشارة في القوس الأول: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) و A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- التوقف مبكرًا. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) ليس تامًا: فـ x² − 4 يتحلل مرة أخرى.
الأسئلة الشائعة
- كيف أحلّل ثلاثي الحدود ax² + bx + c؟
- استخدم طريقة AC. اضرب a في c، وأوجد عددين حاصل ضربهما ac ومجموعهما b، وقسّم الحد الأوسط بهما، وحلّل كل زوج، ثم أخرج القوس المشترك. وعندما يكون a = 1 تحتاج فقط إلى عددين حاصل ضربهما c ومجموعهما b.
- ما صيغة فرق المربعات؟
- A² − B² = (A − B)(A + B). وتنطبق عندما يكون ذو الحدين مربعًا كاملًا مطروحًا منه مربع كامل، مثل 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). أما مجموع المربعات مثل x² + 25 فلا يتحلل على الأعداد الصحيحة.
- ما صيغتا مجموع المكعبات وفرقها؟
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) و A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). وبالنسبة إلى 27x³ − 1 يكون A = 3x وB = 1، فيتحلل إلى (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- كيف أعرف أن كثير الحدود أولي؟
- بالنسبة إلى الحد التربيعي تحقّق من المميّز b² − 4ac: إذا لم يكن مربعًا كاملًا فلا توجد جذور نسبية، والحد التربيعي أولي على الأعداد الصحيحة. والحد التكعيبي أولي إذا لم يكن له جذر نسبي. أما الدرجات الأعلى فلا يوجد اختبار بسيط لها.
- ما التحليل بالتجميع؟
- في حالة أربعة حدود، قسّمها إلى زوجين، وأخرج العامل المشترك الأكبر من كل زوج، وإذا تطابقت الأقواس فأخرج القوس عاملًا مشتركًا. فيصبح x³ + 2x² + 3x + 6 هو x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- لماذا يكون العامل المشترك سالبًا أحيانًا؟
- عندما يكون المعامل الرائد سالبًا تُخرج الحاسبة عاملًا مشتركًا سالبًا، فيبدأ كثير الحدود داخل القوس موجبًا. فـ −2x² + 8 يصبح −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). وكلا العرفين صحيح؛ تحقّق مما يتطلبه مقررك.
- هل يمكنني التحقق من التحليل بنفسي؟
- نعم، اضرب العوامل مرة أخرى. فإذا حصلت على كثير الحدود الأصلي فالتحليل صحيح. والحاسبة تفعل ذلك لك في التحقق النهائي.