ما الفرق بين GCF وLCM؟

القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقسم كل عدد في القائمة، لذلك لا يتجاوز أصغرها أبدًا. أما المضاعف المشترك الأصغر فهو أصغر عدد تقسمه كل الأعداد في القائمة، لذلك لا يقل أبدًا عن أكبرها. وللعددين 12 و18 يكون القاسم المشترك الأكبر 6، والمضاعف المشترك الأصغر 36.

هل GCF وGCD وHCF شيء واحد؟

نعم. القاسم المشترك الأكبر (GCF)، والقاسم المشترك الأكبر (GCD)، والعامل المشترك الأعلى (HCF، وهو المصطلح البريطاني الشائع) ثلاث تسميات لعدد واحد. ويُسمّى المضاعف المشترك الأصغر أحيانًا «المضاعف المشترك الأدنى».

ما القاسم المشترك الأكبر لعددين أوليين؟

هو 1، لأن العدد الأولي ليس له عوامل غير 1 ونفسه. ويُسمّى عددان قاسمهما المشترك الأكبر 1 أوليان فيما بينهما (coprime أو relatively prime)، ومضاعفهما المشترك الأصغر هو حاصل ضربهما ببساطة: LCM(7, 11) = 77. ويمكن أن يكونا أوليين فيما بينهما دون أن يكونا أوليين، مثل 8 و15.

كيف أجد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أعداد أو أكثر؟

اعمل زوجًا زوجًا: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين الأولين، ثم المضاعف المشترك الأصغر لهذه النتيجة والعدد الثالث، وهكذا. أو حلّل كل عدد إلى أعداد أولية، واضرب كل عدد أولي في أكبر أُسّ يبلغه في أي منها.

لماذا لا أستطيع إدخال 0؟

كل عدد صحيح يقسم 0، لذلك فإن القاسم المشترك الأكبر للعددين 0 وn هو n ببساطة، والمضاعف المشترك الأصغر لهما هو 0 بالاتفاق. ولا يحتاج أي منهما إلى حساب، ولا يملك 0 تحليلًا إلى عوامل أولية لعرضه. احذف الصفر، وستقارن الحاسبة الأعداد المتبقية.

هل القاسم المشترك الأكبر × المضاعف المشترك الأصغر يساوي دائمًا حاصل ضرب الأعداد؟

فقط في حالة عددين: GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b. ومع ثلاثة أعداد أو أكثر لا يصح ذلك؛ فلـ 2 و4 و8 يكون القاسم المشترك الأكبر 2 والمضاعف المشترك الأصغر 8، فحاصل ضربهما 16 لا 64.

حاسبة GCF وLCM

أدخل عددين صحيحين أو أكثر لتحصل على قاسمهما المشترك الأكبر ومضاعفهما المشترك الأصغر. يُحسب الجواب بطريقتين جنبًا إلى جنب: خوارزمية القسمة لإقليدس وطريقة التحليل إلى عوامل أولية، فيمكنك متابعة الطريقة التي يستخدمها صفك. تُعالَج الأعداد التي تصل إلى 40 منزلة بدقة تامة.

أعداد صحيحة

عددان أو أكثر، مفصولة بفواصل أو مسافات. تُتجاهَل الإشارات لأن القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر معرّفان على القيم المطلقة.

النتائج

القاسم المشترك الأكبر (GCF)

180

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

الأعداد المقارَنة

القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس

اقسم العدد الأكبر على الأصغر، ثم اقسم المقسوم عليه الأخير على الباقي، حتى يصبح الباقي 0. وآخر مقسوم عليه هو القاسم المشترك الأكبر.

GCF(12, 18)

18 = 1 × 12 + 6

12 = 2 × 6 + 0

بلغ الباقي 0، إذن GCF(12, 18) = 6.

GCF(6, 30)

30 = 5 × 6 + 0

بلغ الباقي 0، إذن GCF(6, 30) = 6.

مع أكثر من عددين، أضِفها واحدًا تلو الآخر: GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6.

المضاعف المشترك الأصغر من القاسم المشترك الأكبر

بالنسبة إلى عددين، LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). ومع أكثر من عددين، أضِفها واحدًا تلو الآخر.

LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36

LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180

طريقة التحليل إلى عوامل أولية

حلّل كل عدد إلى أعداد أولية. يأخذ القاسم المشترك الأكبر كل عدد أولي تشترك فيه الأعداد بأصغر أُسّ له، ويأخذ المضاعف المشترك الأصغر كل عدد أولي يظهر بأكبر أُسّ له.

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

30 = 2 × 3 × 5

العدد الأولي	12	18	30	GCF (أصغر أُسّ)	LCM (أكبر أُسّ)
2	2²	2	2	2	2²
3	3	3²	3	3	3²
5	—	—	5	—	5

GCF = 2 × 3 = 6

LCM = 2² × 3² × 5 = 180

كيفية استخدام حاسبة GCF وLCM

1. اكتب الأعداد. افصلها بفواصل أو مسافات: 12, 18, 30. يكفي عددان، ويُقبل ما يصل إلى اثني عشر عددًا. لا تضع فواصل الآلاف، لأن الفاصلة هنا تبدأ عددًا جديدًا.
2. اقرأ الجوابين. يظهر القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر في الأعلى، مع ملاحظة عندما يكون القاسم المشترك الأكبر 1 والأعداد أولية فيما بينها.
3. اتبع الطريقة التي تعلّمتها. تسرد خوارزمية إقليدس كل قسمة، ويبيّن جدول التحليل إلى عوامل أولية أُسّ كل عدد أولي في كل عدد، وأي أُسّ يأخذه القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.
4. انسخ النتيجة. يعطيك زر النسخ ملخصًا من سطر واحد مثل GCF(12, 18, 30) = 6؛ LCM(12, 18, 30) = 180.

طريقتان لإيجاد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

خوارزمية إقليدس

تقوم خوارزمية إقليدس، الواردة في الكتاب السابع من الأصول (نحو 300 قبل الميلاد)، على حقيقة واحدة: القاسم المشترك الأكبر لعددين يقسم باقيهما أيضًا. لذلك اقسم العدد الأكبر على الأصغر، ثم استبدل الأكبر بالباقي، وكرّر. فإذا بلغ الباقي 0 كان آخر مقسوم عليه هو القاسم المشترك الأكبر. مثال للعددين 48 و180:

180 = 3 × 48 + 36
48 = 1 × 36 + 12
36 = 3 × 12 + 0  ←  GCF(48, 180) = 12

وهي سريعة مهما كان حجم الأعداد: لا يزيد عدد القسمات أبدًا على خمسة أمثال عدد منازل أصغرها. لهذا تستخدمها الحواسيب، ولهذا تستطيع هذه الحاسبة أن تتعامل مع أعداد من 40 منزلة فورًا.

التحليل إلى عوامل أولية

اكتب كل عدد حاصل ضرب أعداد أولية. القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب الأعداد الأولية التي تشترك فيها الأعداد، كلٌّ بأصغر أُسّ له؛ أما المضاعف المشترك الأصغر فهو حاصل ضرب كل عدد أولي يظهر، كلٌّ بأكبر أُسّ له. ومع 48 = 2⁴ × 3 و180 = 2² × 3² × 5 يكون القاسم المشترك الأكبر 2² × 3 = 12، والمضاعف المشترك الأصغر 2⁴ × 3² × 5 = 720. تُظهر الطريقة البنية، لكنها تعتمد على التحليل إلى عوامل، وهذا يصبح بطيئًا مع الأعداد الكبيرة جدًا.

وبالنسبة إلى عددين يوجد اختصار يربط الجوابين: LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). ومع 48 و180 يكون ذلك 8640 ÷ 12 = 720. وتستخدم الحاسبة هذا الاختصار لبناء المضاعف المشترك الأصغر من القاسم المشترك الأكبر.

مثال تطبيقي: 12 و18 و30

القاسم المشترك الأكبر للزوج الأول. 18 = 1 × 12 + 6، ثم 12 = 2 × 6 + 0، إذن GCF(12, 18) = 6.
أدخل العدد الثالث. 30 = 5 × 6 + 0، إذن GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6.
المضاعف المشترك الأصغر، زوجًا زوجًا. LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36، ثم LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
تحقّق بالأعداد الأولية. 12 = 2² × 3، و18 = 2 × 3²، و30 = 2 × 3 × 5. الأعداد الأولية المشتركة بأصغر أُسّ تعطي 2 × 3 = 6، وجميع الأعداد الأولية بأكبر أُسّ تعطي 2² × 3² × 5 = 180.

متى تحتاج إلى القاسم المشترك الأكبر أو المضاعف المشترك الأصغر

المسألة	الاستخدام	مثال
تبسيط كسر	GCF	18/30: اقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر 6 لتحصل على 3/5.
جمع الكسور	LCM	1/12 + 1/18: أصغر مقام مشترك هو 36.
التقسيم إلى مجموعات متساوية	GCF	12 قلمًا و18 قلم رصاص تكوّن على الأكثر 6 أطقم متطابقة.
مواءمة دورات متكررة	LCM	حافلات تصل كل 12 دقيقة و18 دقيقة تلتقي من جديد بعد 36 دقيقة.
تحليل تعبير إلى عوامل	GCF	12x + 18 = 6(2x + 3).

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين GCF وLCM؟: القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقسم كل عدد في القائمة، لذلك لا يتجاوز أصغرها أبدًا. أما المضاعف المشترك الأصغر فهو أصغر عدد تقسمه كل الأعداد في القائمة، لذلك لا يقل أبدًا عن أكبرها. وللعددين 12 و18 يكون القاسم المشترك الأكبر 6، والمضاعف المشترك الأصغر 36.
هل GCF وGCD وHCF شيء واحد؟: نعم. القاسم المشترك الأكبر (GCF)، والقاسم المشترك الأكبر (GCD)، والعامل المشترك الأعلى (HCF، وهو المصطلح البريطاني الشائع) ثلاث تسميات لعدد واحد. ويُسمّى المضاعف المشترك الأصغر أحيانًا «المضاعف المشترك الأدنى».
ما القاسم المشترك الأكبر لعددين أوليين؟: هو 1، لأن العدد الأولي ليس له عوامل غير 1 ونفسه. ويُسمّى عددان قاسمهما المشترك الأكبر 1 أوليان فيما بينهما (coprime أو relatively prime)، ومضاعفهما المشترك الأصغر هو حاصل ضربهما ببساطة: LCM(7, 11) = 77. ويمكن أن يكونا أوليين فيما بينهما دون أن يكونا أوليين، مثل 8 و15.
كيف أجد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أعداد أو أكثر؟: اعمل زوجًا زوجًا: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين الأولين، ثم المضاعف المشترك الأصغر لهذه النتيجة والعدد الثالث، وهكذا. أو حلّل كل عدد إلى أعداد أولية، واضرب كل عدد أولي في أكبر أُسّ يبلغه في أي منها.
لماذا لا أستطيع إدخال 0؟: كل عدد صحيح يقسم 0، لذلك فإن القاسم المشترك الأكبر للعددين 0 وn هو n ببساطة، والمضاعف المشترك الأصغر لهما هو 0 بالاتفاق. ولا يحتاج أي منهما إلى حساب، ولا يملك 0 تحليلًا إلى عوامل أولية لعرضه. احذف الصفر، وستقارن الحاسبة الأعداد المتبقية.
هل القاسم المشترك الأكبر × المضاعف المشترك الأصغر يساوي دائمًا حاصل ضرب الأعداد؟: فقط في حالة عددين: GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b. ومع ثلاثة أعداد أو أكثر لا يصح ذلك؛ فلـ 2 و4 و8 يكون القاسم المشترك الأكبر 2 والمضاعف المشترك الأصغر 8، فحاصل ضربهما 16 لا 64.