ما هو العدد رقم 100 في فيبوناتشي؟

F(100) = 354,224,848,179,261,915,075، وهو عدد من 21 رقمًا. وهذا يستخدم الترقيم F(0) = 0 وF(1) = 1. فإن كان مصدرك يرقّم المتتالية من 1، 1، 2، 3، …، فحدّه رقم 100 هو F(100) كذلك؛ ولا يتغير الموضع بمقدار واحد إلا في المصادر التي تحذف الواحد الأول.

كيف تجد العدد رقم n في فيبوناتشي دون سرد كل الحدود؟

استخدم صيغة بينيه للقيم الصغيرة، أو المضاعفة السريعة للحصول على نتائج دقيقة: فهي تبني F(n) من F(n ÷ 2) وF(n ÷ 2 + 1) بعدد قليل من الضربات، فحتى F(100000) يحتاج نحو 17 مضاعفة فقط. أما جمع الحدود واحدًا تلو الآخر فيعمل، لكنه يستغرق n خطوة.

هل تبدأ متتالية فيبوناتشي من 0 أم من 1؟

يُستخدم الاصطلاحان. فالرياضيات تبدأ عادةً بـ F(0) = 0 وF(1) = 1 (وهذه هي الحاسبة). وتبدأ كثير من الكتب والألغاز بـ 1، 1. والحدود بعد البداية متطابقة، فتحقق من الترقيم الذي تقصده مسألتك قبل مقارنة الإجابات.

ما علاقة متتالية فيبوناتشي بالنسبة الذهبية؟

تميل نسبة الحدود المتتالية F(n + 1) ÷ F(n) إلى φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618034. وبالعكس، فإن φⁿ ÷ √5 يبعد أقل من 0.5 عن F(n)، وهذه هي صيغة بينيه. ويعرض الجدول في الأداة النسب وهي تقترب.

لماذا تعطي صيغة بينيه عددًا صحيحًا؟

تلغي الأجزاء غير النسبية بعضها بعضًا تمامًا: فـ φⁿ وψⁿ مترافقان، لذا فإن فرقهما مضاعف لـ √5. لكن في الحساب ذي الفاصلة العائمة يُقرَّب φⁿ، ومن نحو n = 71 يتجاوز خطأ التقريب 0.5 فتخرج الإجابة خاطئة بواحد أو أكثر.

كم رقمًا لـ F(n)؟

نحو 0.2090 × n رقمًا: وتحديدًا ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 لـ n ≥ 2. فـ F(1000) له 209 أرقام، وF(100000) له 20,899 رقمًا.

هل توجد أعداد أخرى تتبع القاعدة نفسها؟

نعم. أي قيمتين ابتدائيتين مع القاعدة «اجمع الحدين السابقين» تكوّنان متتالية شبيهة بفيبوناتشي؛ فالبداية بـ 2 و1 تعطي أعداد لوكاس 2، 1، 3، 4، 7، 11، 18. وتقترب نسب كل هذه المتتاليات من φ أيضًا. جرّب متتالية من إنشائك في حلّال المتتاليات العددية.

حاسبة فيبوناتشي

أدخل n لتحصل على العدد رقم n في متتالية فيبوناتشي عددًا صحيحًا دقيقًا، حتى F(100000) الذي له 20,899 رقمًا. وإلى جانب القيمة تحصل على صيغة بينيه المغلقة مقارنةً بالجواب الدقيق، ونسبة الحدود المتتالية وهي تقترب من النسبة الذهبية، وجدولًا لأي مجموعة من الحدود تختارها. مجانية دون تسجيل، وتعمل في متصفحك.

الحد رقم n

عدد صحيح من 0 إلى 100,000. F(0) = 0 وF(1) = 1.

النتائج

354224848179261915075

F(100)

الأرقام

صيغة بينيه

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5، حيث φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.6180339887 وψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0.6180339887. ولأن |ψ| < 1 فإن الحد الثاني يتلاشى، لذا فإن F(n) هو φⁿ ÷ √5 مقرَّبًا إلى أقرب عدد صحيح.

φ^100 ≈ 7.920708398E20

ψ^100 ≈ 1.262513338E‎-21

φ^100 ÷ √5 ≈ 3.542248482E20

(φ^100 − ψ^100) ÷ √5، مُقرَّبًا بحساب الدقة المزدوجة = 354224848179263111168

هذا يختلف عن F(100) الدقيق = 354224848179261915075. تحمل الدقة المزدوجة نحو 16 رقمًا معنويًا، لذا تنحرف صيغة بينيه بالحساب العشري العادي ابتداءً من n حوالي 70. والأرقام الدقيقة هنا تُحسب بالحساب بالأعداد الصحيحة.

نسبة الحدود المتتالية

تقترب F(n + 1) ÷ F(n) من النسبة الذهبية φ كلما كبر n، متناوبةً فوقها وتحتها.

φ = 1.618033988749894848204586834365…

F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…

تتفق هذه القيم مع φ في أول 30 منازل عشرية.

المتتالية

ابدأ القائمة من الحد

عدد الحدود

حتى 100 حدًّا.

n	F(n)	F(n + 1) ÷ F(n)، مقطوعة إلى 10 منازل
0	0	—
1	1	1.0000000000
2	1	2.0000000000
3	2	1.5000000000
4	3	1.6666666666
5	5	1.6000000000
6	8	1.6250000000
7	13	1.6153846153
8	21	1.6190476190
9	34	1.6176470588
10	55	1.6181818181
11	89	1.6179775280
12	144	1.6180555555
13	233	1.6180257510
14	377	1.6180371352
15	610	1.6180327868
16	987	1.6180344478
17	1597	1.6180338134
18	2584	1.6180340557
19	4181	1.6180339631

كيفية استخدام حاسبة فيبوناتشي

1. أدخل n. أي عدد صحيح من 0 إلى 100000. تستخدم الأداة الترقيم F(0) = 0 وF(1) = 1 وF(2) = 1 وF(3) = 2.
2. اقرأ F(n). تظهر القيمة مع عدد أرقامها. وبعد 40 رقمًا تعرض البطاقة الأرقام الأولى والأخيرة، ويقوم زر نسخ كل الأرقام بنسخ كل رقم منها.
3. قارن الصيغ. يعرض قسم بينيه القيم φⁿ وψⁿ والنتيجة المقرّبة بجوار الحد الدقيق، حتى ترى أين يتوقف الحساب ذو الفاصلة العائمة عن أن يكون موثوقًا. ويعرض قسم النسبة F(n + 1) ÷ F(n) إلى 30 منزلة عشرية بجوار φ.
4. اعرض قائمة من الحدود. في قسم المتتالية اختر الحد الأول وعدد الحدود المطلوب عرضها (حتى 100)، لتحصل على جدول بـ F(n) مع كل نسبة F(n + 1) ÷ F(n).

ما هي متتالية فيبوناتشي

كل حد هو مجموع الحدين السابقين له: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2)، وتبدأ بالأعداد 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144. استخدمها Leonardo of Pisa (فيبوناتشي) في كتابه Liber Abaci (1202) لنمذجة تكاثر الأرانب، مع أن هذه الأعداد كانت قد ظهرت من قبل في الكتابات الهندية عن الوزن الشعري. وبعض الكتب تبدأ المتتالية بـ F(1) = F(2) = 1 وتحذف F(0)؛ فالقيم واحدة، والاختلاف في أرقام المواضع فقط.

من المتطابقات الجديرة بالمعرفة: مجموع الحدود F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1)؛ وكل حد ثالث زوجي؛ وF(m) يقسم F(n) كلما قسم m العدد n؛ ومتطابقة كاسيني تقول إن F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.

صيغة بينيه وحدودها

تعطي صيغة بينيه F(n) مباشرة: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5، حيث φ = (1 + √5) ÷ 2 وψ = (1 − √5) ÷ 2. ولأن ψ يساوي تقريبًا −0.618، فإن ψⁿ يتضاءل نحو 0، وF(n) هو ببساطة φⁿ ÷ √5 مقرَّبًا إلى أقرب عدد صحيح. وبالنسبة إلى n = 10 يكون φ¹⁰ ≈ 122.9919، و ψ¹⁰ ≈ 0.0081، و(122.9919 − 0.0081) ÷ 2.2361 = 55.

لماذا لا تستخدم هذه الحاسبة صيغة بينيه وحدها؟

تخزن الآلة الحاسبة أو جدول البيانات العادي نحو 16 رقمًا معنويًا. وفي حساب الدقة المزدوجة تبدأ صيغة بينيه بالخطأ عند n = 71، فتعطي 308061521170130 بدل F(71) = 308061521170129 الحقيقي، ويكبر الخطأ بعد ذلك. وتحسب هذه الأداة الحدود بحساب الأعداد الصحيحة الدقيق (متطابقات المضاعفة السريعة F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) وF(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²)، ولا تعرض صيغة بينيه إلا للمقارنة.

النسبة الذهبية

اقسم كل حد على الحد الذي قبله فتقترب الإجابات من φ = 1.6180339887…، وهي النسبة الذهبية. وهي تتناوب حولها — 2، 1.5، 1.667، 1.6، 1.625، 1.615… — وكل نسبة أقرب من سابقتها. وبعد 20 حدًّا تتفق F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 مع φ حتى 7 منازل عشرية، وتتفق F(41) ÷ F(40) حتى 16 منزلة، وتتفق F(101) ÷ F(100) مع كل المنازل الثلاثين التي تعرضها الحاسبة. والسبب هو نفسه في صيغة بينيه: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.

مثال محلول: F(100)

F(100) = 354224848179261915075   (21 رقمًا)
عدد الأرقام بالصيغة: ⌊100 × 0.20898764 − 0.34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…

الأسئلة الشائعة

ما هو العدد رقم 100 في فيبوناتشي؟: F(100) = 354,224,848,179,261,915,075، وهو عدد من 21 رقمًا. وهذا يستخدم الترقيم F(0) = 0 وF(1) = 1. فإن كان مصدرك يرقّم المتتالية من 1، 1، 2، 3، …، فحدّه رقم 100 هو F(100) كذلك؛ ولا يتغير الموضع بمقدار واحد إلا في المصادر التي تحذف الواحد الأول.
كيف تجد العدد رقم n في فيبوناتشي دون سرد كل الحدود؟: استخدم صيغة بينيه للقيم الصغيرة، أو المضاعفة السريعة للحصول على نتائج دقيقة: فهي تبني F(n) من F(n ÷ 2) وF(n ÷ 2 + 1) بعدد قليل من الضربات، فحتى F(100000) يحتاج نحو 17 مضاعفة فقط. أما جمع الحدود واحدًا تلو الآخر فيعمل، لكنه يستغرق n خطوة.
هل تبدأ متتالية فيبوناتشي من 0 أم من 1؟: يُستخدم الاصطلاحان. فالرياضيات تبدأ عادةً بـ F(0) = 0 وF(1) = 1 (وهذه هي الحاسبة). وتبدأ كثير من الكتب والألغاز بـ 1، 1. والحدود بعد البداية متطابقة، فتحقق من الترقيم الذي تقصده مسألتك قبل مقارنة الإجابات.
ما علاقة متتالية فيبوناتشي بالنسبة الذهبية؟: تميل نسبة الحدود المتتالية F(n + 1) ÷ F(n) إلى φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618034. وبالعكس، فإن φⁿ ÷ √5 يبعد أقل من 0.5 عن F(n)، وهذه هي صيغة بينيه. ويعرض الجدول في الأداة النسب وهي تقترب.
لماذا تعطي صيغة بينيه عددًا صحيحًا؟: تلغي الأجزاء غير النسبية بعضها بعضًا تمامًا: فـ φⁿ وψⁿ مترافقان، لذا فإن فرقهما مضاعف لـ √5. لكن في الحساب ذي الفاصلة العائمة يُقرَّب φⁿ، ومن نحو n = 71 يتجاوز خطأ التقريب 0.5 فتخرج الإجابة خاطئة بواحد أو أكثر.
كم رقمًا لـ F(n)؟: نحو 0.2090 × n رقمًا: وتحديدًا ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 لـ n ≥ 2. فـ F(1000) له 209 أرقام، وF(100000) له 20,899 رقمًا.
هل توجد أعداد أخرى تتبع القاعدة نفسها؟: نعم. أي قيمتين ابتدائيتين مع القاعدة «اجمع الحدين السابقين» تكوّنان متتالية شبيهة بفيبوناتشي؛ فالبداية بـ 2 و1 تعطي أعداد لوكاس 2، 1، 3، 4، 7، 11، 18. وتقترب نسب كل هذه المتتاليات من φ أيضًا. جرّب متتالية من إنشائك في حلّال المتتاليات العددية.