Fibonaccicalculator
Voer n in en krijg het n-de Fibonacci-getal als exact geheel getal, zelfs F(100000), dat 20.899 cijfers heeft. Naast de waarde krijg je de formule van Binet, gecontroleerd tegen het exacte antwoord, de verhouding van opeenvolgende termen die naar de gulden snede convergeert, en een tabel met elke reeks termen die je kiest. Gratis, zonder registratie. Het draait in je browser.
Een geheel getal van 0 tot 100.000. F(0) = 0, F(1) = 1.
Resultaten
354224848179261915075
F(100)
21
Cijfers
De formule van Binet
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, met φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 en ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Omdat |ψ| < 1 verdwijnt de tweede term, dus F(n) is φⁿ ÷ √5 afgerond op het dichtstbijzijnde gehele getal.
φ^100 ≈ 7,920708398E20
ψ^100 ≈ 1,262513338E-21
φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20
(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, afgerond in rekenen met dubbele precisie = 354224848179263111168
Dit wijkt af van de exacte F(100) = 354224848179261915075. Een dubbel getal bevat ongeveer 16 significante cijfers, dus de formule van Binet in gewone drijvende komma loopt vanaf ongeveer n = 70 af. De exacte getallen hier gebruiken rekenen met gehele getallen.
Verhouding van opeenvolgende termen
F(n + 1) ÷ F(n) nadert de gulden snede φ naarmate n groter wordt, en wisselt af boven en onder φ.
φ = 1.618033988749894848204586834365…
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…
Deze komen overeen met φ voor de eerste 30 decimalen.
De reeks
Tot 100 termen.
| n | F(n) | F(n + 1) ÷ F(n), afgekapt op 10 decimalen |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 1 | 1.0000000000 |
| 2 | 1 | 2.0000000000 |
| 3 | 2 | 1.5000000000 |
| 4 | 3 | 1.6666666666 |
| 5 | 5 | 1.6000000000 |
| 6 | 8 | 1.6250000000 |
| 7 | 13 | 1.6153846153 |
| 8 | 21 | 1.6190476190 |
| 9 | 34 | 1.6176470588 |
| 10 | 55 | 1.6181818181 |
| 11 | 89 | 1.6179775280 |
| 12 | 144 | 1.6180555555 |
| 13 | 233 | 1.6180257510 |
| 14 | 377 | 1.6180371352 |
| 15 | 610 | 1.6180327868 |
| 16 | 987 | 1.6180344478 |
| 17 | 1597 | 1.6180338134 |
| 18 | 2584 | 1.6180340557 |
| 19 | 4181 | 1.6180339631 |
Zo gebruik je de Fibonaccicalculator
- 1. Voer n in. Elk geheel getal van 0 tot 100000. De tool gebruikt de indexering F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
- 2. Lees F(n). De waarde verschijnt met het aantal cijfers. Vanaf 40 cijfers toont de kaart de eerste en laatste cijfers, en Kopieer alle cijfers kopieert ze allemaal.
- 3. Vergelijk de formules. De sectie over Binet toont φⁿ, ψⁿ en het afgeronde resultaat naast de exacte term, zodat je ziet waar rekenen in drijvende komma niet meer te vertrouwen is. De verhoudingssectie toont F(n + 1) ÷ F(n) tot 30 decimalen naast φ.
- 4. Maak een lijst met termen. Kies bij De reeks een beginterm en hoeveel termen je wilt zien (tot 100), voor een tabel met F(n) en elke verhouding F(n + 1) ÷ F(n).
Wat de Fibonacci-reeks is
Elke term is de som van de twee vorige: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), beginnend met 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo van Pisa (Fibonacci) gebruikte de reeks in Liber Abaci (1202) om een konijnenpopulatie te modelleren, al kwamen de getallen eerder voor in Indiase geschriften over poëtische metrum. Sommige boeken beginnen de reeks bij F(1) = F(2) = 1 en laten F(0) weg; de waarden zijn dezelfde, alleen de positienummers verschillen.
Een paar identiteiten die je moet kennen: de termen tellen op tot F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); elke derde term is even; F(m) deelt F(n) wanneer m n deelt; en de identiteit van Cassini zegt dat F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.
De formule van Binet en haar grenzen
De formule van Binet geeft F(n) rechtstreeks: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, met φ = (1 + √5) ÷ 2 en ψ = (1 − √5) ÷ 2. Omdat ψ ongeveer −0,618 is, krimpt ψⁿ naar 0 en is F(n) gewoon φⁿ ÷ √5 afgerond op het dichtstbijzijnde gehele getal. Voor n = 10 is φ10 ≈ 122,9919, ψ10 ≈ 0,0081, en (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.
Waarom deze calculator niet gewoon Binet gebruikt
Een gewone rekenmachine of spreadsheet slaat ongeveer 16 significante cijfers op. In rekenen met dubbele precisie gaat de formule van Binet voor het eerst mis bij n = 71: die geeft 308061521170130 in plaats van het echte F(71) = 308061521170129, en de fout groeit daarna. Deze tool rekent termen met exact rekenen met gehele getallen (de snelle verdubbelingsidentiteiten F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) en F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) en toont Binet alleen ter vergelijking.
De gulden snede
Deel elke term door de vorige en de antwoorden naderen φ = 1,6180339887…, de gulden snede. Ze wisselen af rond φ — 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615… — en elke verhouding ligt dichter bij φ dan de vorige. Na 20 termen komt F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 overeen met φ tot 7 decimalen; F(41) ÷ F(40) komt overeen tot 16; F(101) ÷ F(100) komt overeen tot alle 30 decimalen die de calculator toont. De reden is dezelfde als bij Binet: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.
Uitgewerkt voorbeeld: F(100)
F(100) = 354224848179261915075 (21 cijfers) Aantal cijfers volgens de formule: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21 F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…
Veelgestelde vragen
- Wat is het 100e Fibonacci-getal?
- F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, een getal van 21 cijfers. Dat gebruikt de conventie F(0) = 0 en F(1) = 1. Als je bron de reeks vanaf 1 nummert, als 1, 1, 2, 3, …, dan is haar 100e term ook F(100); alleen bronnen die het eerste 1 weglaten, verschuiven de positie met één.
- Hoe vind je het n-de Fibonacci-getal zonder elke term op te schrijven?
- Gebruik de formule van Binet voor kleine n, of snelle verdubbeling voor exacte resultaten: die bouwt F(n) op uit F(n ÷ 2) en F(n ÷ 2 + 1) met enkele vermenigvuldigingen, dus zelfs F(100000) vraagt maar ongeveer 17 verdubbelingen. Term voor term optellen werkt ook, maar kost n stappen.
- Begint de Fibonacci-reeks bij 0 of bij 1?
- Beide conventies komen voor. De wiskunde begint meestal bij F(0) = 0 en F(1) = 1 (deze calculator). Veel leerboeken en puzzels beginnen met 1, 1. De termen na het begin zijn identiek, dus controleer welke index je probleem bedoelt voordat je antwoorden vergelijkt.
- Hoe hangt de Fibonacci-reeks samen met de gulden snede?
- De verhouding van opeenvolgende termen F(n + 1) ÷ F(n) nadert φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Omgekeerd ligt φⁿ ÷ √5 binnen 0,5 van F(n), en dat is de formule van Binet. De tabel in de tool laat de verhoudingen convergeren.
- Waarom geeft de formule van Binet een geheel getal?
- De irrationale delen heffen elkaar precies op: φⁿ en ψⁿ zijn geconjugeerden, dus hun verschil is een veelvoud van √5. In drijvende-kommarekenen wordt φⁿ echter afgerond, en vanaf ongeveer n = 71 wordt de afrondingsfout groter dan 0,5 en is het antwoord één of meer te laag of te hoog.
- Hoeveel cijfers heeft F(n)?
- Ongeveer 0,2090 × n cijfers: precies ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 voor n ≥ 2. F(1000) heeft dus 209 cijfers en F(100000) heeft er 20.899.
- Zijn er andere getallen die dezelfde regel volgen?
- Ja. Elke twee beginwaarden met de regel ‘tel de twee vorige op’ maken een Fibonacci-achtige reeks; beginnen met 2 en 1 geeft de Lucasgetallen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. De verhoudingen van al zulke reeksen naderen ook φ. Probeer je eigen reeks in de Getallenrijsoplosser.