Kalkulator ciągu Fibonacciego

Wyniki

Wzór Bineta

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, gdzie φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 i ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Ponieważ |ψ| < 1, drugi składnik zanika, więc F(n) to φⁿ ÷ √5 zaokrąglone do najbliższej liczby całkowitej.

To różni się od dokładnego F(100) = 354224848179261915075. Liczba podwójnej precyzji ma około 16 cyfr znaczących, więc wzór Bineta w zwykłej arytmetyce zmiennoprzecinkowej rozjeżdża się od około n = 70. Dokładne wartości tutaj używają arytmetyki liczb całkowitych.

Stosunek kolejnych wyrazów

F(n + 1) ÷ F(n) dąży do złotej liczby φ, gdy n rośnie, na przemian powyżej i poniżej niej.

Ciąg

Jak korzystać z kalkulatora ciągu Fibonacciego

1. 1. Wpisz n. Dowolna liczba całkowita od 0 do 100 000. Narzędzie używa indeksowania F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
2. 2. Odczytaj F(n). Wartość pojawia się wraz z liczbą cyfr. Powyżej 40 cyfr karta pokazuje pierwsze i ostatnie cyfry, a Kopiuj wszystkie cyfry kopiuje każdą z nich.
3. 3. Porównaj wzory. Sekcja wzoru Bineta pokazuje φⁿ, ψⁿ i wynik zaokrąglony obok dokładnego wyrazu, więc widzisz, gdzie arytmetyka zmiennoprzecinkowa przestaje być wiarygodna. Sekcja stosunków pokazuje F(n + 1) ÷ F(n) z 30 miejscami po przecinku obok φ.
4. 4. Wypisz wyrazy. W sekcji Ciąg wybierz wyraz początkowy i to, ile ich pokazać (do 100), aby dostać tabelę F(n) z każdym stosunkiem F(n + 1) ÷ F(n).

Czym jest ciąg Fibonacciego

Każdy wyraz to suma dwóch poprzednich: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), zaczynając od 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo z Pizy (Fibonacci) użył go w Liber Abaci (1202) do modelowania populacji królików, choć liczby te pojawiały się już wcześniej w indyjskich pismach o metryce poetyckiej. Niektóre książki zaczynają ciąg od F(1) = F(2) = 1 i pomijają F(0); wartości są te same, różnią się tylko numery pozycji.

Kilka tożsamości wartych zapamiętania: suma wyrazów F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); co trzeci wyraz jest parzysty; F(m) dzieli F(n), ilekroć m dzieli n; a tożsamość Cassiniego mówi, że F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.

Wzór Bineta i jego granice

Wzór Bineta podaje F(n) wprost: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, gdzie φ = (1 + √5) ÷ 2 i ψ = (1 − √5) ÷ 2. Ponieważ ψ wynosi około −0,618, ψⁿ zbiega do 0, a F(n) to po prostu φⁿ ÷ √5 zaokrąglone do najbliższej liczby całkowitej. Dla n = 10 mamy φ¹⁰ ≈ 122,9919, ψ¹⁰ ≈ 0,0081 i (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.

Złota liczba

Podziel każdy wyraz przez poprzedni, a odpowiedzi zbiegną do φ = 1,6180339887…, czyli złotej liczby. Oscylują wokół niej — 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615… — a każdy stosunek jest bliższy niż poprzedni. Po 20 wyrazach F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 zgadza się z φ do 7 miejsc po przecinku; F(41) ÷ F(40) zgadza się do 16; F(101) ÷ F(100) zgadza się do wszystkich 30 miejsc, które pokazuje kalkulator. Powód jest ten sam co przy wzorze Bineta: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.

F(100) = 354 224 848 179 261 915 075   (21 cyfr)
Liczba cyfr ze wzoru: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…

Najczęstsze pytania

Jaki jest 100. wyraz ciągu Fibonacciego?

F(100) = 354 224 848 179 261 915 075, liczba o 21 cyfrach. To przy założeniu F(0) = 0 i F(1) = 1. Jeśli twoje źródło numeruje ciąg od 1, 1, 2, 3, …, jego 100. wyraz to też F(100); numer pozycji przesuwa się tylko w źródłach, które pomijają wiodącą jedynkę.

Jak znaleźć n-ty wyraz bez wypisywania wszystkich?

Dla małych n użyj wzoru Bineta, a dla dokładnych wyników szybkiego podwajania: buduje on F(n) z F(n ÷ 2) i F(n ÷ 2 + 1) za pomocą kilku mnożeń, więc nawet F(100000) wymaga około 17 podwojeń. Dodawanie wyraz po wyrazie działa, ale wymaga n kroków.

Czy ciąg Fibonacciego zaczyna się od 0 czy od 1?

Używa się obu konwencji. Matematyka zwykle zaczyna od F(0) = 0, F(1) = 1 (tak jak ten kalkulator). Wiele podręczników i zagadek zaczyna od 1, 1. Wyrazy po początku są identyczne, więc sprawdź, który indeks ma na myśli twoje zadanie, zanim porównasz odpowiedzi.

Jaki jest związek ciągu Fibonacciego ze złotą liczbą?

Stosunek kolejnych wyrazów F(n + 1) ÷ F(n) dąży do φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. I odwrotnie: φⁿ ÷ √5 jest w odległości 0,5 od F(n), co jest wzorem Bineta. Tabela w narzędziu pokazuje zbieganie się stosunków.

Dlaczego wzór Bineta daje liczbę całkowitą?

Części niewymierne znoszą się dokładnie: φⁿ i ψⁿ są sprzężone, więc ich różnica jest wielokrotnością √5. W arytmetyce zmiennoprzecinkowej φⁿ jest jednak zaokrąglane, a od około n = 71 błąd zaokrąglenia przekracza 0,5 i wynik jest o jeden lub więcej za duży albo za mały.

Ile cyfr ma F(n)?

Około 0,2090 × n cyfr: dokładnie ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 dla n ≥ 2. Zatem F(1000) ma 209 cyfr, a F(100000) ma 20 899.

Czy istnieją inne liczby, które spełniają tę samą regułę?

Tak. Każde dwie wartości początkowe i reguła „dodaj dwa poprzednie” tworzą ciąg podobny do Fibonacciego; zaczynając od 2 i 1 dostajemy liczby Lucasa 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Stosunki wszystkich takich ciągów też dążą do φ. Spróbuj własnego ciągu w Number Sequence Solver.