Was ist die 100. Fibonacci-Zahl?

F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, eine Zahl mit 21 Ziffern. Das setzt die Konvention F(0) = 0 und F(1) = 1 voraus. Verwendet Ihre Quelle eine Nummerierung ab 1, 1, 2, 3, …, ist ihr 100. Glied ebenfalls F(100); nur Quellen, die die führende 1 weglassen, verschieben die Position um eins.

Wie findet man die n-te Fibonacci-Zahl, ohne jedes Glied aufzulisten?

Für kleine n mit der Binet-Formel, für exakte Ergebnisse mit Fast Doubling: Es baut F(n) aus F(n ÷ 2) und F(n ÷ 2 + 1) mit wenigen Multiplikationen auf, sodass selbst F(100000) nur etwa 17 Verdopplungen braucht. Glied für Glied zu addieren funktioniert ebenfalls, braucht aber n Schritte.

Beginnt die Fibonacci-Folge mit 0 oder mit 1?

Beide Konventionen sind gebräuchlich. Die Mathematik beginnt meist mit F(0) = 0, F(1) = 1 (dieser Rechner). Viele Lehrbücher und Rätsel beginnen mit 1, 1. Die Werte nach dem Anfang sind identisch; prüfen Sie daher, welchen Index Ihre Aufgabe meint, bevor Sie Antworten vergleichen.

Wie hängt die Fibonacci-Folge mit dem Goldenen Schnitt zusammen?

Das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder F(n + 1) ÷ F(n) strebt φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034 zu. Umgekehrt liegt φⁿ ÷ √5 innerhalb von 0,5 von F(n); das ist die Binet-Formel. Die Tabelle im Tool zeigt die konvergierenden Verhältnisse.

Warum ergibt die Binet-Formel eine ganze Zahl?

Die irrationalen Anteile heben sich exakt auf: φⁿ und ψⁿ sind konjugiert, daher ist ihre Differenz ein Vielfaches von √5. In Gleitkommaarithmetik wird φⁿ jedoch gerundet, und ab etwa n = 71 übersteigt der Rundungsfehler 0,5, sodass das Ergebnis um eins oder mehr abweicht.

Wie viele Ziffern hat F(n)?

Etwa 0,2090 × n Ziffern: genau ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 für n ≥ 2. F(1000) hat also 209 Ziffern, und F(100000) hat 20.899.

Gibt es weitere Zahlen, die derselben Regel folgen?

Ja. Jede Folge mit zwei Startwerten, bei der „jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen“ gilt, ist eine fibonacci-artige Folge; mit 2 und 1 beginnend ergeben sich die Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Auch die Verhältnisse all dieser Folgen nähern sich φ. Probieren Sie eine eigene Folge im Zahlenfolgen-Löser aus.

Fibonacci-Rechner

Geben Sie n ein und erhalten Sie die n-te Fibonacci-Zahl als exakte ganze Zahl – sogar F(100000), die 20.899 Ziffern hat. Neben dem Wert erhalten Sie die Binet-Formel, geprüft gegen das exakte Ergebnis, das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder, das sich dem Goldenen Schnitt annähert, und eine Tabelle beliebiger Glieder nach Wahl. Kostenlos, ohne Anmeldung – es läuft in Ihrem Browser.

Welches Glied, n

Eine ganze Zahl von 0 bis 100.000. F(0) = 0, F(1) = 1.

Ergebnisse

354224848179261915075

F(100)

Ziffern

Binet-Formel

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, mit φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 und ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Da |ψ| < 1 ist, verschwindet der zweite Term, sodass F(n) einfach φⁿ ÷ √5 ist, auf die nächste ganze Zahl gerundet.

φ^100 ≈ 7,920708398E20

ψ^100 ≈ 1,262513338E-21

φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20

(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, in Gleitkommaarithmetik mit doppelter Genauigkeit gerundet = 354224848179263111168

Das weicht vom exakten F(100) = 354224848179261915075 ab. Ein Double speichert etwa 16 signifikante Stellen, daher weicht die Binet-Formel in gewöhnlicher Gleitkommaarithmetik ab etwa n = 70 ab. Die exakten Werte hier nutzen Ganzzahlarithmetik.

Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder

F(n + 1) ÷ F(n) nähert sich mit wachsendem n dem Goldenen Schnitt φ an und pendelt dabei abwechselnd darüber und darunter.

φ = 1.618033988749894848204586834365…

F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…

Diese stimmen für die ersten 30 Dezimalstellen mit φ überein.

Die Folge

Liste ab Glied

Wie viele Glieder

Bis zu 100 Glieder.

n	F(n)	F(n + 1) ÷ F(n), auf 10 Stellen gekürzt
0	0	—
1	1	1.0000000000
2	1	2.0000000000
3	2	1.5000000000
4	3	1.6666666666
5	5	1.6000000000
6	8	1.6250000000
7	13	1.6153846153
8	21	1.6190476190
9	34	1.6176470588
10	55	1.6181818181
11	89	1.6179775280
12	144	1.6180555555
13	233	1.6180257510
14	377	1.6180371352
15	610	1.6180327868
16	987	1.6180344478
17	1597	1.6180338134
18	2584	1.6180340557
19	4181	1.6180339631

So verwenden Sie den Fibonacci-Rechner

1. Geben Sie n ein. Jede ganze Zahl von 0 bis 100000. Der Rechner verwendet die Nummerierung F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
2. Lesen Sie F(n). Der Wert erscheint mit seiner Ziffernanzahl. Ab 40 Ziffern zeigt die Karte die ersten und letzten Ziffern, und Alle Ziffern kopieren kopiert jede einzelne.
3. Vergleichen Sie die Formeln. Der Binet-Abschnitt zeigt φⁿ, ψⁿ und das gerundete Ergebnis neben dem exakten Glied, sodass Sie sehen, wo die Gleitkommaarithmetik nicht mehr verlässlich ist. Der Verhältnis-Abschnitt zeigt F(n + 1) ÷ F(n) auf 30 Dezimalstellen neben φ.
4. Listen Sie Glieder auf. Wählen Sie unter Die Folge ein Startglied und die Anzahl der Glieder (bis 100), um eine Tabelle mit F(n) und jedem Verhältnis F(n + 1) ÷ F(n) zu erhalten.

Was die Fibonacci-Folge ist

Jedes Glied ist die Summe der beiden davor: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), beginnend mit 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo von Pisa (Fibonacci) verwendete sie im Liber Abaci (1202), um eine Kaninchenpopulation zu modellieren, obwohl die Zahlen bereits in indischen Schriften zur Metrik vorgekommen waren. Manche Bücher beginnen die Folge mit F(1) = F(2) = 1 und lassen F(0) weg; die Werte sind dieselben, nur die Positionsnummern unterscheiden sich.

Einige Identitäten sind bemerkenswert: Die Glieder summieren sich zu F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); jedes dritte Glied ist gerade; F(m) teilt F(n), sobald m die Zahl n teilt; und die Cassini-Identität besagt F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.

Die Binet-Formel und ihre Grenzen

Die Binet-Formel gibt F(n) direkt an: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, mit φ = (1 + √5) ÷ 2 und ψ = (1 − √5) ÷ 2. Da ψ etwa −0,618 ist, schrumpft ψⁿ gegen 0, und F(n) ist einfach φⁿ ÷ √5, auf die nächste ganze Zahl gerundet. Für n = 10 gilt φ¹⁰ ≈ 122,9919, ψ¹⁰ ≈ 0,0081 und (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.

Warum dieser Rechner nicht einfach Binet verwendet

Ein gewöhnlicher Taschenrechner oder eine Tabellenkalkulation speichert etwa 16 signifikante Stellen. In Gleitkommaarithmetik mit doppelter Genauigkeit liefert die Binet-Formel erstmals bei n = 71 einen falschen Wert, nämlich 308.061.521.170.130 statt der wahren F(71) = 308.061.521.170.129, und der Fehler wächst danach. Dieses Tool berechnet Glieder mit exakter Ganzzahlarithmetik (den Fast-Doubling-Identitäten F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) und F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) und zeigt Binet nur als Vergleich.

Der Goldene Schnitt

Teilen Sie jedes Glied durch das davor, und die Ergebnisse nähern sich φ = 1,6180339887…, dem Goldenen Schnitt. Sie pendeln um ihn herum – 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615… – und jedes Verhältnis liegt näher als das vorige. Nach 20 Gliedern stimmt F(21) ÷ F(20) = 10.946 ÷ 6.765 auf 7 Dezimalstellen mit φ überein; F(41) ÷ F(40) auf 16; F(101) ÷ F(100) auf alle 30 Stellen, die der Rechner anzeigt. Der Grund ist derselbe wie bei Binet: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.

Beispiel: F(100)

F(100) = 354.224.848.179.261.915.075   (21 Ziffern)
Ziffern nach der Formel: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…

Häufig gestellte Fragen

Was ist die 100. Fibonacci-Zahl?: F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, eine Zahl mit 21 Ziffern. Das setzt die Konvention F(0) = 0 und F(1) = 1 voraus. Verwendet Ihre Quelle eine Nummerierung ab 1, 1, 2, 3, …, ist ihr 100. Glied ebenfalls F(100); nur Quellen, die die führende 1 weglassen, verschieben die Position um eins.
Wie findet man die n-te Fibonacci-Zahl, ohne jedes Glied aufzulisten?: Für kleine n mit der Binet-Formel, für exakte Ergebnisse mit Fast Doubling: Es baut F(n) aus F(n ÷ 2) und F(n ÷ 2 + 1) mit wenigen Multiplikationen auf, sodass selbst F(100000) nur etwa 17 Verdopplungen braucht. Glied für Glied zu addieren funktioniert ebenfalls, braucht aber n Schritte.
Beginnt die Fibonacci-Folge mit 0 oder mit 1?: Beide Konventionen sind gebräuchlich. Die Mathematik beginnt meist mit F(0) = 0, F(1) = 1 (dieser Rechner). Viele Lehrbücher und Rätsel beginnen mit 1, 1. Die Werte nach dem Anfang sind identisch; prüfen Sie daher, welchen Index Ihre Aufgabe meint, bevor Sie Antworten vergleichen.
Wie hängt die Fibonacci-Folge mit dem Goldenen Schnitt zusammen?: Das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder F(n + 1) ÷ F(n) strebt φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034 zu. Umgekehrt liegt φⁿ ÷ √5 innerhalb von 0,5 von F(n); das ist die Binet-Formel. Die Tabelle im Tool zeigt die konvergierenden Verhältnisse.
Warum ergibt die Binet-Formel eine ganze Zahl?: Die irrationalen Anteile heben sich exakt auf: φⁿ und ψⁿ sind konjugiert, daher ist ihre Differenz ein Vielfaches von √5. In Gleitkommaarithmetik wird φⁿ jedoch gerundet, und ab etwa n = 71 übersteigt der Rundungsfehler 0,5, sodass das Ergebnis um eins oder mehr abweicht.
Wie viele Ziffern hat F(n)?: Etwa 0,2090 × n Ziffern: genau ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 für n ≥ 2. F(1000) hat also 209 Ziffern, und F(100000) hat 20.899.
Gibt es weitere Zahlen, die derselben Regel folgen?: Ja. Jede Folge mit zwei Startwerten, bei der „jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen“ gilt, ist eine fibonacci-artige Folge; mit 2 und 1 beginnend ergeben sich die Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Auch die Verhältnisse all dieser Folgen nähern sich φ. Probieren Sie eine eigene Folge im Zahlenfolgen-Löser aus.