Rechner für arithmetische Folgen
Geben Sie das erste Glied und die gemeinsame Differenz ein, um jedes Glied einer arithmetischen Folge und die Summe der ersten n Glieder zu erhalten. Oder geben Sie zwei Glieder an, die Sie bereits kennen, und der Rechner rechnet rückwärts zu a₁ und d. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt, Gliednummern gehen bis 10¹⁵, und jede Formel wird mit Ihren Zahlen gezeigt. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Wird jedes Mal addiert. Negativ für eine fallende Folge.
Eine ganze Zahl von 1 bis 10¹⁵.
Ergebnisse
79
Glied a₂₀
820
Summe S₂₀ der ersten 20 Glieder
4
Gemeinsame Differenz
3
Erstes Glied
d ist positiv, daher wächst die Folge.
Allgemeine Formel
aₙ = 4n − 1
Rechenweg
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
Die Folge
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
So verwenden Sie den Rechner für arithmetische Folgen
- 1. Wählen Sie, was Sie wissen. Erstes Glied und gemeinsame Differenz ist der übliche Fall. Zwei Glieder der Folge eignet sich für Fragen wie „das 3. Glied ist 11 und das 8. ist 36“. Finden, wo ein Wert steht zeigt Ihnen, welches Glied gleich einer Zahl ist.
- 2. Füllen Sie die Felder aus. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 3/4 funktionieren, und die gemeinsame Differenz darf negativ sein. Positionen zählen ab 1.
- 3. Lesen Sie die Karten. Sie erhalten das Glied aₙ, die Summe Sₙ der ersten n Glieder, die gemeinsame Differenz und das erste Glied.
- 4. Verfolgen Sie den Rechenweg. Jede Formel wird mit Ihren Werten eingesetzt ausgeschrieben, gefolgt von den ersten Gliedern der Folge.
Die Formeln
Eine arithmetische Folge addiert jedes Mal denselben Betrag, die gemeinsame Differenz d, um vom einen Glied zum nächsten zu gelangen: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. Das n-te Glied ist daher
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
Die Summenformel besagt, dass die Summe einer arithmetischen Reihe gleich der Anzahl der Glieder mal dem Mittelwert aus erstem und letztem Glied ist. Die Geschichte erzählt, dass der junge Carl Friedrich Gauß genau damit 1 + 2 + … + 100 addierte: Es gibt 100 Glieder mit dem Mittelwert (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, also ist die Summe 5050. Paarweises Zusammenfassen von beiden Enden — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — ergibt 50 Paare, die jeweils 101 ergeben.
Beispiele
- Glied und Summe. Für 3, 7, 11, … gilt a₁ = 3 und d = 4. Das 20. Glied ist a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, und die Summe der ersten 20 Glieder ist S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Als Formel: aₙ = 4n − 1.
- Aus zwei Gliedern. Wenn a₃ = 11 und a₈ = 36 gilt, addieren die fünf Schritte vom 3. zum 8. Glied 25, also ist d = 25 ÷ 5 = 5. Dann ist a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. Die Folge lautet 1, 6, 11, 16, …, mit a₂₀ = 96 und S₂₀ = 970.
- Wo steht ein Wert? Bei 3, 7, 11, … welches Glied ist 79? Die Anzahl der Schritte von 3 bis 79 ist (79 − 3) ÷ 4 = 19, also ist es das Glied 19 + 1 = 20. Der Wert 80 ist kein Glied, weil 77 ÷ 4 keine ganze Zahl ist.
| Sie kennen | Verwenden Sie |
|---|---|
| a₁, d und n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ und d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Zwei Glieder aₚ und a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), dann a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ und n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Drei aufeinanderfolgende Glieder a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — jedes Glied ist das Mittel seiner Nachbarn |
Häufig gestellte Fragen
- Wie lautet die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, wobei a₁ das erste Glied, d die gemeinsame Differenz und n die Position ist. Für 5, 8, 11, … ergibt sich aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, also ist das 50. Glied 152.
- Wie berechnet man die Summe einer arithmetischen Reihe?
- Multiplizieren Sie die Anzahl der Glieder mit dem Mittelwert aus erstem und letztem Glied: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Wenn Sie das letzte Glied nicht kennen, verwenden Sie Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Beide ergeben 820 für die ersten 20 Glieder von 3, 7, 11, ….
- Wie finde ich die gemeinsame Differenz?
- Subtrahieren Sie ein beliebiges Glied vom nächsten. Wenn Sie nur zwei Glieder kennen, die nicht benachbart sind, teilen Sie ihre Differenz durch die Anzahl der Schritte zwischen ihnen: Bei a₃ = 11 und a₈ = 36 ist d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Wie finde ich die Anzahl der Glieder?
- Verwenden Sie n = (letztes Glied − erstes Glied) ÷ d + 1. Für 7, 12, 17, …, 102 ergibt das (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist, gehört das angegebene letzte Glied nicht wirklich zur Folge.
- Kann die gemeinsame Differenz null, negativ oder ein Bruch sein?
- Ja, in allen drei Fällen. Bei d = 0 sind alle Glieder gleich; bei einem negativen d fällt die Folge, wie in 20; 17; 14; …; bei einem Bruch wie d = 1/2 erhalten Sie 2; 2,5; 3; …. Der Rechner behandelt sie exakt.
- Was ist der Unterschied zwischen einer arithmetischen Folge und einer arithmetischen Reihe?
- Die Folge ist die Liste der Glieder (3, 7, 11, 15); die Reihe ist deren Summe (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Dieses Werkzeug liefert Ihnen beides: das n-te Glied und die Teilsumme Sₙ.
- Ist eine arithmetische Progression dasselbe?
- Ja. Die arithmetische Progression, oft mit AP abgekürzt, ist ein anderer Name für eine arithmetische Folge. Das „arithmetische Mittel“ ist dieselbe Idee umgekehrt: Das mittlere Glied dreier aufeinanderfolgender Glieder ist der Mittelwert der beiden anderen.