Calculadora de sucesiones aritméticas
Introduce el primer término y la diferencia común para obtener cualquier término de una sucesión aritmética y la suma de los primeros n términos. O dale dos términos que ya conoces y la calculadora calcula hacia atrás a₁ y d. Las fracciones y los decimales se mantienen exactos, los números de término llegan hasta 10¹⁵ y cada fórmula se muestra con tus números. Gratis, sin registro.
Se suma en cada paso. Negativa si la sucesión decrece.
Un número entero de 1 a 10¹⁵.
Resultados
79
Término a₂₀
820
Suma S₂₀ de los primeros 20 términos
4
Diferencia común
3
Primer término
d es positiva, así que la sucesión crece.
Fórmula general
aₙ = 4n − 1
Desarrollo
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
La sucesión
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Cómo usar la calculadora de sucesiones aritméticas
- 1. Elige lo que sabes. Primer término y diferencia común es el caso habitual. Dos términos de la sucesión sirve para preguntas como «el 3.er término es 11 y el 8.º es 36». Averiguar en qué posición está un valor te dice qué término es igual a un número.
- 2. Rellena los campos. Funcionan los números enteros, los decimales y las fracciones como 3/4, y la diferencia común puede ser negativa. Las posiciones se cuentan desde 1.
- 3. Lee las tarjetas. Obtienes el término aₙ, la suma Sₙ de los primeros n términos, la diferencia común y el primer término.
- 4. Sigue el desarrollo. Cada fórmula se escribe con tus valores sustituidos, seguida de los primeros términos de la sucesión.
Las fórmulas
Una sucesión aritmética suma siempre la misma cantidad, la diferencia común d, para pasar de cada término al siguiente: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. El término n-ésimo es, por tanto,
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
La fórmula de la suma dice que el total de una serie aritmética es el número de términos por la media del primero y el último. Cuenta la historia que el joven Carl Friedrich Gauss usó exactamente esto para sumar 1 + 2 + … + 100: hay 100 términos con una media de (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, así que la suma es 5050. Emparejar los términos por ambos extremos (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98) da 50 parejas que suman cada una 101.
Ejemplos desarrollados
- Término y suma. Para 3, 7, 11, … tenemos a₁ = 3 y d = 4. El término 20.º es a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, y la suma de los primeros 20 términos es S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Como fórmula, aₙ = 4n − 1.
- A partir de dos términos. Si a₃ = 11 y a₈ = 36, los cinco pasos del término 3 al 8 suman 25, así que d = 25 ÷ 5 = 5. Luego a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. La sucesión es 1, 6, 11, 16, …, con a₂₀ = 96 y S₂₀ = 970.
- ¿Dónde está un valor? En 3, 7, 11, … ¿qué término es 79? El número de pasos desde 3 hasta 79 es (79 − 3) ÷ 4 = 19, así que es el término 19 + 1 = 20. El valor 80 no es un término, porque 77 ÷ 4 no es un número entero.
| Datos que conoces | Usa |
|---|---|
| a₁, d y n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ y d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Dos términos aₚ y a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), luego a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ y n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Tres términos consecutivos a, b, c | b = (a + c) ÷ 2: cada término es la media de sus vecinos |
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo de una sucesión aritmética?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, donde a₁ es el primer término, d la diferencia común y n la posición. Para 5, 8, 11, … da aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, así que el término 50.º es 152.
- ¿Cómo se calcula la suma de una serie aritmética?
- Multiplica el número de términos por la media del primero y el último: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Si no conoces el último término, usa Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Ambas dan 820 para los primeros 20 términos de 3, 7, 11, ….
- ¿Cómo se halla la diferencia común?
- Resta cualquier término del que le sigue. Si solo conoces dos términos que no son vecinos, divide su diferencia entre el número de pasos que hay entre ellos: con a₃ = 11 y a₈ = 36, d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- ¿Cómo se halla el número de términos?
- Usa n = (último término − primer término) ÷ d + 1. Para 7, 12, 17, …, 102, eso es (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Si el resultado no es un número entero, el último término que te dieron no está realmente en la sucesión.
- ¿La diferencia común puede ser cero, negativa o una fracción?
- Sí en los tres casos. Con d = 0 todos los términos son iguales; con una d negativa la sucesión decrece, como en 20, 17, 14, …; con una fracción como d = 1/2 obtienes 2; 2,5; 3; …. La calculadora los trata de forma exacta.
- ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión aritmética y una serie aritmética?
- La sucesión es la lista de términos (3, 7, 11, 15); la serie es la suma de ellos (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Esta herramienta te da las dos cosas: el término n-ésimo y la suma parcial Sₙ.
- ¿Es lo mismo una progresión aritmética?
- Sí. Progresión aritmética, a menudo escrita PA, es otro nombre para sucesión aritmética, y la «media aritmética» es la misma idea al revés: el término central de tres consecutivos es la media de los otros dos.