حاسبة المتتاليات الحسابية
أدخل الحد الأول والفرق المشترك لتحصل على أي حد من حدود متتالية حسابية، ومجموع أول n حدًا. أو أعطِ حدّين تعرفهما، فتعمل الحاسبة بالعكس لتصل إلى a₁ وd. تبقى الكسور والأعداد العشرية دقيقة، وتصل أرقام الحدود إلى 10¹⁵، ويُعرض كل قانون مع أرقامك مكتوبةً فيه. مجانية ودون تسجيل.
أضِفه في كل مرة. سالب للمتتالية المتناقصة.
عدد صحيح من 1 حتى 10¹⁵.
النتائج
79
الحد a₂₀
820
المجموع S₂₀ لأول 20 حدًا
4
الفرق المشترك
3
الحد الأول
d موجب، لذلك تتزايد المتتالية.
القانون العام
aₙ = 4n − 1
خطوات الحل
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
المتتالية
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
كيفية استخدام حاسبة المتتاليات الحسابية
- 1. اختر ما تعرفه. الحد الأول والفرق المشترك هي الحالة المعتادة. حدّان من المتتالية لأسئلة مثل «الحد الثالث 11 والحد الثامن 36». حدّد موضع قيمة يخبرك أي حد يساوي عددًا معيّنًا.
- 2. املأ الحقول. تعمل الأعداد الصحيحة والعشرية والكسور مثل 3/4، ويجوز أن يكون الفرق المشترك سالبًا. تُعدّ المواضع بدءًا من 1.
- 3. اقرأ البطاقات. تحصل على الحد aₙ، ومجموع Sₙ لأول n حدًا، والفرق المشترك، والحد الأول.
- 4. تابع الخطوات. يُكتب كل قانون مع قيمك بعد التعويض، يتبعه أول بضعة حدود من المتتالية.
القوانين
تضيف المتتالية الحسابية المقدار نفسه، وهو الفرق المشترك d، للانتقال من كل حد إلى الذي يليه: a₁، a₁ + d، a₁ + 2d، …. ومن ثم يكون الحد النوني هو
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
تقول صيغة المجموع إن مجموع متسلسلة حسابية هو عدد حدودها مضروبًا في متوسط الحد الأول والحد الأخير. ويُروى أن الصبي كارل فريدريش غاوس استخدم هذا الأسلوب ليجمع 1 + 2 + … + 100: فهناك 100 حد متوسطها (1 + 100) ÷ 2 = 50.5، فيكون المجموع 5050. وبإقران الحدود من الطرفين — 1 + 100، و2 + 99، و3 + 98 — نحصل على 50 زوجًا كل منها يساوي 101.
أمثلة تطبيقية
- الحد والمجموع. للمتتالية 3، 7، 11، … لدينا a₁ = 3 وd = 4. الحد العشرون هو a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79، ومجموع أول 20 حدًا هو S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. وصيغتها: aₙ = 4n − 1.
- من حدّين. إذا كان a₃ = 11 وa₈ = 36، فالخطوات الخمس من الحد الثالث إلى الثامن تضيف 25، إذن d = 25 ÷ 5 = 5. ثم a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. والمتتالية هي 1، 6، 11، 16، …، مع a₂₀ = 96 وS₂₀ = 970.
- أين تقع القيمة؟ في 3، 7، 11، … أي حد يساوي 79؟ عدد الخطوات من 3 إلى 79 هو (79 − 3) ÷ 4 = 19، فهو الحد رقم 19 + 1 = 20. والقيمة 80 ليست حدًّا، لأن 77 ÷ 4 ليس عددًا صحيحًا.
| المعطى | استخدم |
|---|---|
| a₁ وd وn | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁ وaₙ وd | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| حدّان aₚ وa_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p)، ثم a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁ وaₙ وn | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| ثلاثة حدود متتالية a وb وc | b = (a + c) ÷ 2 — كل حد هو متوسط الحدين المجاورين له |
الأسئلة الشائعة
- ما قانون الحد النوني للمتتالية الحسابية؟
- aₙ = a₁ + (n − 1)d، حيث a₁ هو الحد الأول وd الفرق المشترك وn الموضع. فلـ 5، 8، 11، … يكون aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2، فيكون الحد الخمسون 152.
- كيف أجد مجموع متسلسلة حسابية؟
- اضرب عدد الحدود في متوسط الحد الأول والأخير: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. وإذا لم تعرف الحد الأخير، فاستخدم Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. وكلاهما يعطي 820 لأول 20 حدًا من 3، 7، 11، ….
- كيف أجد الفرق المشترك؟
- اطرح أي حد من الحد الذي يليه. وإذا كنت تعرف حدّين غير متجاورين فقط، فاقسم فرق قيمتيهما على عدد الخطوات بينهما: مع a₃ = 11 وa₈ = 36، يكون d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- كيف أجد عدد الحدود؟
- استخدم n = (الحد الأخير − الحد الأول) ÷ d + 1. فلـ 7، 12، 17، …، 102 يكون ذلك (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. وإذا لم تكن النتيجة عددًا صحيحًا، فالحد الأخير الذي أعطيته ليس في المتتالية.
- هل يمكن أن يكون الفرق المشترك صفرًا أو سالبًا أو كسرًا؟
- نعم في الحالات الثلاث. مع d = 0 تكون كل الحدود متساوية؛ ومع d سالب تتناقص المتتالية، كما في 20، 17، 14، …؛ ومع كسر مثل d = 1/2 تحصل على 2، 2.5، 3، …. وتتعامل الحاسبة معها بدقة.
- ما الفرق بين المتتالية الحسابية والمتسلسلة الحسابية؟
- المتتالية هي قائمة الحدود (3، 7، 11، 15)، والمتسلسلة هي مجموعها (3 + 7 + 11 + 15 = 36). وتعطيك هذه الأداة الاثنين: الحد النوني ومجموع الحدود الجزئي Sₙ.
- هل التقدم الحسابي هو الشيء نفسه؟
- نعم. التقدم الحسابي، ويُكتب غالبًا AP، اسم آخر للمتتالية الحسابية، و«الوسط الحسابي» هو الفكرة نفسها معكوسة: الحد الأوسط من ثلاثة حدود متتالية هو متوسط الحدين الآخرين.