Kalkulator ciągu arytmetycznego
Podaj pierwszy wyraz i różnicę wspólną, a otrzymasz dowolny wyraz ciągu arytmetycznego oraz sumę pierwszych n wyrazów. Możesz też podać dwa znane wyrazy, a kalkulator cofnie się do a₁ i d. Ułamki i liczby dziesiętne pozostają dokładne, numery wyrazów sięgają 10¹⁵, a każdy wzór jest pokazany z Twoimi liczbami. Za darmo, bez rejestracji.
Dodawana za każdym razem. Ujemna dla ciągu malejącego.
Liczba całkowita od 1 do 10¹⁵.
Wyniki
79
Wyraz a₂₀
820
Suma S₂₀ pierwszych wyrazów, n = 20
4
Różnica wspólna
3
Pierwszy wyraz
d jest dodatnie, więc ciąg rośnie.
Wzór ogólny
aₙ = 4n − 1
Obliczenia
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
Ciąg
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Jak korzystać z kalkulatora ciągu arytmetycznego
- 1. Wybierz, co wiesz. Pierwszy wyraz i różnica wspólna to najczęstszy przypadek. Dwa wyrazy ciągu służy do pytań w rodzaju „trzeci wyraz to 11, a ósmy to 36”. Znajdź, który wyraz ma daną wartość mówi, który wyraz jest równy podanej liczbie.
- 2. Wypełnij pola. Działają liczby całkowite, dziesiętne i ułamki takie jak 3/4, a różnica wspólna może być ujemna. Numery wyrazów liczymy od 1.
- 3. Odczytaj karty. Dostajesz wyraz aₙ, sumę Sₙ pierwszych n wyrazów, różnicę wspólną i pierwszy wyraz.
- 4. Prześledź obliczenia. Każdy wzór jest zapisany z podstawionymi wartościami, a po nim następują pierwsze wyrazy ciągu.
Wzory
Ciąg arytmetyczny dodaje za każdym razem tę samą wartość, różnicę wspólną d, by przejść od wyrazu do następnego: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. Zatem n-ty wyraz to
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
Wzór na sumę mówi, że suma ciągu arytmetycznego to liczba wyrazów pomnożona przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu. Mówi się, że młody Carl Friedrich Gauss właśnie tak zsumował 1 + 2 + … + 100: jest 100 wyrazów o średniej (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, więc suma wynosi 5050. Parowanie wyrazów od obu końców — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — daje 50 par, z których każda daje 101.
Przykłady obliczeń
- Wyraz i suma. Dla 3, 7, 11, … mamy a₁ = 3 i d = 4. Dwudziesty wyraz to a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, a suma pierwszych 20 wyrazów to S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Jako wzór: aₙ = 4n − 1.
- Z dwóch wyrazów. Jeśli a₃ = 11 i a₈ = 36, pięć kroków od wyrazu 3 do wyrazu 8 daje przyrost 25, więc d = 25 ÷ 5 = 5. Następnie a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. Ciąg to 1, 6, 11, 16, …, z a₂₀ = 96 i S₂₀ = 970.
- Gdzie leży wartość? W ciągu 3, 7, 11, … który wyraz jest równy 79? Liczba kroków od 3 do 79 to (79 − 3) ÷ 4 = 19, więc to wyraz numer 19 + 1 = 20. Wartość 80 nie jest wyrazem, bo 77 ÷ 4 nie jest liczbą całkowitą.
| Znasz | Użyj |
|---|---|
| a₁, d i n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ i d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Dwa wyrazy aₚ i a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), potem a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ i n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Dowolne trzy kolejne wyrazy a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — każdy wyraz jest średnią swoich sąsiadów |
Najczęstsze pytania
- Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, d to różnica wspólna, a n to numer wyrazu. Dla 5, 8, 11, … daje to aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, więc 50. wyraz to 152.
- Jak obliczyć sumę szeregu arytmetycznego?
- Pomnóż liczbę wyrazów przez średnią pierwszego i ostatniego: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Jeśli nie znasz ostatniego wyrazu, użyj Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Oba wzory dają 820 dla pierwszych 20 wyrazów ciągu 3, 7, 11, ….
- Jak znaleźć różnicę wspólną?
- Odejmij dowolny wyraz od następnego po nim. Jeśli znasz tylko dwa wyrazy, które nie są sąsiednie, podziel ich różnicę przez liczbę kroków między nimi: przy a₃ = 11 i a₈ = 36, d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Jak znaleźć liczbę wyrazów?
- Użyj n = (ostatni wyraz − pierwszy wyraz) ÷ d + 1. Dla 7, 12, 17, …, 102 wychodzi (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Jeśli wynik nie jest liczbą całkowitą, podany ostatni wyraz w ogóle nie należy do ciągu.
- Czy różnica wspólna może być zerem, ujemna lub ułamkiem?
- Tak, we wszystkich trzech przypadkach. Przy d = 0 każdy wyraz jest taki sam; przy ujemnym d ciąg maleje, jak w 20, 17, 14, …; przy ułamku, na przykład d = 1/2, otrzymujesz 2; 2,5; 3; …. Kalkulator obsługuje je dokładnie.
- Czym różni się ciąg arytmetyczny od szeregu arytmetycznego?
- Ciąg to lista wyrazów (3, 7, 11, 15), a szereg to ich suma (3 + 7 + 11 + 15 = 36). To narzędzie podaje oba: n-ty wyraz i sumę częściową Sₙ.
- Czy postęp arytmetyczny to to samo?
- Tak. Postęp arytmetyczny to inna nazwa ciągu arytmetycznego, a „średnia arytmetyczna” to ta sama idea w odwrotnej postaci: wyraz środkowy z trzech kolejnych wyrazów jest średnią dwóch pozostałych.