등차수열 계산기
첫째 항과 공차를 입력하면 등차수열의 임의의 항과 처음 n개 항의 합을 구할 수 있습니다. 이미 알고 있는 두 항을 입력하면 계산기가 거꾸로 a₁과 d를 구합니다. 분수와 소수는 정확하게 유지되고, 항 번호는 10¹⁵까지 가능하며, 모든 공식은 입력한 숫자를 대입한 상태로 보여 줍니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
매번 더하는 값입니다. 감소하는 수열이라면 음수로 입력하세요.
1부터 10¹⁵까지의 정수입니다.
결과
79
항 a₂₀
820
처음 20개 항의 합 S₂₀
4
공차
3
첫째 항
d가 양수이므로 수열은 증가합니다.
일반항 공식
aₙ = 4n − 1
풀이
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
수열
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
등차수열 계산기 사용 방법
- 1. 알고 있는 것을 고르세요. 첫째 항과 공차가 가장 흔한 경우입니다. 수열의 두 항은 “3번째 항이 11이고 8번째 항이 36이다”와 같은 문제에 씁니다. 값이 몇 번째 항인지 찾기는 어떤 수가 몇 번째 항인지 알려 줍니다.
- 2. 칸을 채우세요. 정수, 소수, 그리고 3/4 같은 분수가 모두 가능하며, 공차는 음수일 수 있습니다. 항의 위치는 1부터 셉니다.
- 3. 결과 카드를 읽으세요. 항 aₙ, 처음 n개 항의 합 Sₙ, 공차, 첫째 항이 표시됩니다.
- 4. 풀이를 따라가세요. 각 공식은 입력한 값을 대입해 풀어 쓰여 있고, 그 뒤에 수열의 처음 몇 개 항이 이어집니다.
공식
등차수열은 각 항에서 다음 항으로 갈 때 같은 값인 공차 d를 더합니다. 즉 a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …입니다. 따라서 n번째 항은 다음과 같습니다.
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
합의 공식은 등차급수의 합이 항의 개수에 첫째 항과 마지막 항의 평균을 곱한 것과 같다는 뜻입니다. 전해지는 이야기에 따르면 어린 시절의 카를 프리드리히 가우스가 바로 이 방법으로 1 + 2 + … + 100을 더했다고 합니다. 항은 100개이고 평균은 (1 + 100) ÷ 2 = 50.5이므로 합은 5050입니다. 양 끝에서 짝을 지어 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98로 묶으면, 각각 101이 되는 쌍이 50개 생깁니다.
실제 예시
- 항과 합. 3, 7, 11, …에서 a₁ = 3이고 d = 4입니다. 20번째 항은 a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79이고, 처음 20개 항의 합은 S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820입니다. 공식으로 쓰면 aₙ = 4n − 1입니다.
- 두 항으로부터. a₃ = 11이고 a₈ = 36이면, 3번째 항에서 8번째 항까지 다섯 단계 동안 25가 늘어나므로 d = 25 ÷ 5 = 5입니다. 그러면 a₁ = 11 − 2 × 5 = 1입니다. 수열은 1, 6, 11, 16, …이고, a₂₀ = 96, S₂₀ = 970입니다.
- 값은 몇 번째 항일까요? 3, 7, 11, …에서 79는 몇 번째 항일까요? 3에서 79까지의 단계 수는 (79 − 3) ÷ 4 = 19이므로 20번째 항입니다. 80은 항이 아닌데, 77 ÷ 4가 정수가 아니기 때문입니다.
| 아는 것 | 사용할 공식 |
|---|---|
| a₁, d, n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ, d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| 두 항 aₚ와 a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), 그다음 a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ, n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| 연속한 세 항 a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — 각 항은 이웃한 두 항의 평균입니다 |
자주 묻는 질문
- 등차수열의 n번째 항 공식은 무엇인가요?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d이며, 여기서 a₁은 첫째 항, d는 공차, n은 위치입니다. 5, 8, 11, …의 경우 aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2이므로 50번째 항은 152입니다.
- 등차급수의 합은 어떻게 구하나요?
- 항의 개수에 첫째 항과 마지막 항의 평균을 곱합니다. Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2입니다. 마지막 항을 모른다면 Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2를 사용하세요. 3, 7, 11, …의 처음 20개 항은 두 식 모두 820을 줍니다.
- 공차는 어떻게 구하나요?
- 어떤 항에서 바로 다음 항을 빼면 됩니다. 이웃하지 않은 두 항만 알고 있다면, 그 차이를 두 항 사이의 단계 수로 나누세요. a₃ = 11이고 a₈ = 36이면 d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5입니다.
- 항의 개수는 어떻게 구하나요?
- n = (마지막 항 − 첫째 항) ÷ d + 1을 사용하세요. 7, 12, 17, …, 102라면 (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20입니다. 결과가 정수가 아니라면, 주어진 마지막 항은 실제로 수열에 들어 있지 않은 것입니다.
- 공차는 0, 음수, 또는 분수일 수 있나요?
- 셋 모두 가능합니다. d = 0이면 모든 항이 같고, 음수 d이면 20, 17, 14, …처럼 수열이 감소하며, d = 1/2 같은 분수이면 2, 2.5, 3, …이 됩니다. 계산기는 이 모든 경우를 정확하게 처리합니다.
- 등차수열과 등차급수는 무엇이 다른가요?
- 수열은 항들의 나열(3, 7, 11, 15)이고, 급수는 그 항들의 합(3 + 7 + 11 + 15 = 36)입니다. 이 도구는 n번째 항과 부분합 Sₙ을 모두 보여 줍니다.
- 등차수열(arithmetic progression)도 같은 것인가요?
- 네. arithmetic progression, 줄여서 AP는 등차수열의 다른 이름입니다. ‘등차중항’은 같은 개념을 거꾸로 본 것으로, 연속한 세 항 가운데 가운데 항은 나머지 두 항의 평균입니다.