Калькулятор арифметической прогрессии
Введите первый член и разность, чтобы получить любой член арифметической последовательности и сумму первых n членов. Или укажите два известных члена, и калькулятор восстановит a₁ и d. Дроби и десятичные числа остаются точными, номера членов доходят до 10¹⁵, а каждая формула показана с вашими числами. Бесплатно, без регистрации.
Прибавляется на каждом шаге. Отрицательная для убывающей прогрессии.
Целое число от 1 до 10¹⁵.
Результаты
79
Член a₂₀
820
Сумма S₂₀ первых 20 членов
4
Разность прогрессии
3
Первый член
d положительна, поэтому прогрессия возрастает.
Общая формула
aₙ = 4n − 1
Ход решения
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
Последовательность
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Как пользоваться калькулятором арифметической прогрессии
- 1. Выберите, что вам известно. Первый член и разность — обычный случай. Два члена последовательности — для вопросов вроде «3-й член равен 11, а 8-й равен 36». Найти, где стоит значение показывает, какой член равен заданному числу.
- 2. Заполните поля. Подходят целые числа, десятичные дроби и дроби вроде 3/4; разность может быть отрицательной. Номера мест считаются с 1.
- 3. Прочитайте карточки. Вы получите член aₙ, сумму Sₙ первых n членов, разность и первый член.
- 4. Следуйте ходу решения. Каждая формула записана с подставленными вашими значениями, а затем идут первые несколько членов прогрессии.
Формулы
Арифметическая прогрессия прибавляет одно и то же число, разность d, чтобы перейти от каждого члена к следующему: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. Поэтому n-й член равен
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
Формула суммы говорит, что сумма арифметической прогрессии равна числу членов, умноженному на среднее арифметическое первого и последнего членов. Рассказывают, что юный Карл Фридрих Гаусс именно так сложил 1 + 2 + … + 100: членов 100, их среднее (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, значит, сумма равна 5050. Если складывать члены с обоих концов, 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, получаются 50 пар, каждая из которых даёт 101.
Разобранные примеры
- Член и сумма. Для 3, 7, 11, … имеем a₁ = 3 и d = 4. 20-й член равен a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, а сумма первых 20 членов равна S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. В виде формулы: aₙ = 4n − 1.
- По двум членам. Если a₃ = 11 и a₈ = 36, пять шагов от 3-го члена к 8-му добавляют 25, значит, d = 25 ÷ 5 = 5. Тогда a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. Прогрессия: 1, 6, 11, 16, …, с a₂₀ = 96 и S₂₀ = 970.
- Где стоит значение? В 3, 7, 11, … какой член равен 79? Число шагов от 3 до 79 равно (79 − 3) ÷ 4 = 19, значит, это член номер 19 + 1 = 20. Значение 80 не является членом, потому что 77 ÷ 4 не целое число.
| Вам известно | Используйте |
|---|---|
| a₁, d и n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ и d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Два члена aₚ и a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), затем a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ и n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Любые три подряд идущих члена a, b, c | b = (a + c) ÷ 2: каждый член является средним своих соседей |
Часто задаваемые вопросы
- Какая формула n-го члена арифметической прогрессии?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, где a₁ — первый член, d — разность, n — номер места. Для 5, 8, 11, … получаем aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, так что 50-й член равен 152.
- Как найти сумму арифметической прогрессии?
- Умножьте число членов на среднее арифметическое первого и последнего: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Если последний член неизвестен, используйте Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Обе формулы дают 820 для первых 20 членов 3, 7, 11, ….
- Как найти разность прогрессии?
- Вычтите из любого члена следующий за ним. Если известны два члена, не стоящие рядом, разделите их разность на число шагов между ними: при a₃ = 11 и a₈ = 36 получаем d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Как найти число членов?
- Используйте n = (последний член − первый член) ÷ d + 1. Для 7, 12, 17, …, 102 это (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Если результат не целое число, заданный последний член на самом деле не входит в прогрессию.
- Может ли разность быть нулём, отрицательной или дробью?
- Да, во всех трёх случаях. При d = 0 все члены одинаковы; при отрицательном d прогрессия убывает, как в 20, 17, 14, …; при дробной разности, например d = 1/2, получаем 2; 2,5; 3; …. Калькулятор работает с ними точно.
- В чём разница между арифметической прогрессией и арифметическим рядом?
- Прогрессия — это список членов (3, 7, 11, 15), а ряд — их сумма (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Этот инструмент даёт оба результата: n-й член и частичную сумму Sₙ.
- Это то же, что арифметическая прогрессия?
- Да. Арифметическая прогрессия — другое название арифметической последовательности (в англоязычной литературе её обозначают AP). «Среднее арифметическое» — та же идея, только наоборот: средний член трёх подряд идущих членов равен среднему арифметическому двух других.