Calcolatore di Successioni Aritmetiche
Inserisci il primo termine e la differenza comune per ottenere un termine qualsiasi di una successione aritmetica e la somma dei primi n termini. Oppure indica due termini che conosci, e il calcolatore risale ad a₁ e d. Frazioni e decimali restano esatti, i numeri di posizione arrivano fino a 10¹⁵, e ogni formula viene mostrata con i tuoi numeri. Gratuito, senza registrazione.
Viene sommata ogni volta. Negativa per una successione decrescente.
Un numero intero da 1 fino a 10¹⁵.
Risultati
79
Termine a₂₀
820
Somma S₂₀ dei primi 20 termini
4
Differenza comune
3
Primo termine
d è positivo, quindi la successione cresce.
Formula generale
aₙ = 4n − 1
Svolgimento
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
La successione
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Come usare il calcolatore di successioni aritmetiche
- 1. Scegli che cosa conosci. Primo termine e differenza comune è il caso più comune. Due termini della successione serve per domande come «il 3° termine è 11 e l'8° è 36». Trova dove si colloca un valore ti dice quale termine è uguale a un numero.
- 2. Compila i campi. Vanno bene numeri interi, decimali e frazioni come 3/4, e la differenza comune può essere negativa. Le posizioni si contano a partire da 1.
- 3. Leggi le schede. Ottieni il termine aₙ, la somma Sₙ dei primi n termini, la differenza comune e il primo termine.
- 4. Segui lo svolgimento. Ogni formula è scritta per esteso con i tuoi valori sostituiti, seguita dai primi termini della successione.
Le formule
Una successione aritmetica aggiunge ogni volta la stessa quantità, la differenza comune d, per passare da un termine al successivo: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. L'n-esimo termine è quindi
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
La formula della somma dice che il totale di una serie aritmetica è il numero di termini moltiplicato per la media del primo e dell'ultimo termine. Si racconta che il giovane Carl Friedrich Gauss usasse proprio questo metodo per sommare 1 + 2 + … + 100: ci sono 100 termini con una media di (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, quindi la somma è 5050. Accoppiando i termini dalle due estremità — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — si ottengono 50 coppie che ciascuna somma 101.
Esempi svolti
- Termine e somma. Per 3, 7, 11, … abbiamo a₁ = 3 e d = 4. Il 20° termine è a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, e la somma dei primi 20 termini è S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Come formula, aₙ = 4n − 1.
- Da due termini. Se a₃ = 11 e a₈ = 36, i cinque passi dal termine 3 al termine 8 aggiungono 25, quindi d = 25 ÷ 5 = 5. Poi a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. La successione è 1, 6, 11, 16, …, con a₂₀ = 96 e S₂₀ = 970.
- Dove si colloca un valore? In 3, 7, 11, … quale termine è 79? Il numero di passi da 3 a 79 è (79 − 3) ÷ 4 = 19, quindi è il termine 19 + 1 = 20. Il valore 80 non è un termine, perché 77 ÷ 4 non è un numero intero.
| Conosci | Usa |
|---|---|
| a₁, d e n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ e d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Due termini aₚ e a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), poi a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ e n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Tre termini consecutivi a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — ogni termine è la media dei suoi vicini |
Domande frequenti
- Qual è la formula dell'n-esimo termine di una successione aritmetica?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, dove a₁ è il primo termine, d la differenza comune e n la posizione. Per 5, 8, 11, … dà aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, quindi il 50° termine è 152.
- Come si calcola la somma di una serie aritmetica?
- Moltiplica il numero dei termini per la media del primo e dell'ultimo: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Se non conosci l'ultimo termine, usa Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Entrambe danno 820 per i primi 20 termini di 3, 7, 11, ….
- Come si trova la differenza comune?
- Sottrai un termine da quello che lo segue. Se conosci solo due termini che non sono vicini, dividi la loro differenza per il numero di passi tra loro: con a₃ = 11 e a₈ = 36, d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Come si trova il numero di termini?
- Usa n = (ultimo termine − primo termine) ÷ d + 1. Per 7, 12, 17, …, 102, è (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Se il risultato non è un numero intero, l'ultimo termine che ti è stato dato non appartiene davvero alla successione.
- La differenza comune può essere zero, negativa o una frazione?
- Sì, in tutti e tre i casi. Con d = 0 ogni termine è uguale; con d negativo la successione decresce, come in 20, 17, 14, …; con una frazione come d = 1/2 si ottiene 2, 2,5, 3, …. Il calcolatore le gestisce in modo esatto.
- Qual è la differenza tra successione e serie aritmetica?
- La successione è l'elenco dei termini (3, 7, 11, 15); la serie è la loro somma (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Questo strumento ti dà entrambe: l'n-esimo termine e la somma parziale Sₙ.
- Progressione aritmetica è la stessa cosa?
- Sì. Progressione aritmetica è un altro nome per successione aritmetica, e «media aritmetica» è la stessa idea al contrario: il termine centrale di tre termini consecutivi è la media degli altri due.