等差数列计算器

结果

d 为正,所以数列递增。

通项公式

计算过程

数列

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79

如何使用等差数列计算器

1. 1. 选择您已知的内容。 首项和公差 是最常见的情况。数列中的两项 适用于“第 3 项是 11,第 8 项是 36”这类问题。求某个值所在的位置 会告诉您哪一项等于某个数。
2. 2. 填写各字段。 整数、小数以及像 3/4 这样的分数都可以使用,公差可以为负数。位置从 1 开始计数。
3. 3. 查看结果卡片。 您会得到第 n 项 aₙ、前 n 项的和 Sₙ、公差以及首项。
4. 4. 跟随计算过程。 每个公式都会代入您的数值并写出来,之后还会列出数列的前几项。

公式

等差数列每一项与下一项之间相差的是同一个数,即公差 d:a₁,a₁ + d,a₁ + 2d,……。因此第 n 项为

aₙ = a₁ + (n − 1)d
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2

求和公式说明,等差级数的和等于项数乘以首项与末项的平均值。相传年轻的高斯正是用这一方法计算 1 + 2 + …… + 100 的:共 100 项,平均值为 (1 + 100) ÷ 2 = 50.5,因此和为 5050。把两端的项两两配对——1 + 100、2 + 99、3 + 98——可得到 50 组,每组都是 101。

示例

1. 和与第 n 项。 对于 3, 7, 11, ……,有 a₁ = 3,d = 4。第 20 项为 a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79,前 20 项的和为 S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820。写成公式即 aₙ = 4n − 1。
2. 由两项求得。 若 a₃ = 11,a₈ = 36,则从第 3 项到第 8 项的五步共增加 25,所以 d = 25 ÷ 5 = 5。于是 a₁ = 11 − 2 × 5 = 1。数列为 1, 6, 11, 16, ……,其中 a₂₀ = 96,S₂₀ = 970。
3. 某个值位于何处? 在 3, 7, 11, ……中,哪一项是 79?从 3 到 79 的步数为 (79 − 3) ÷ 4 = 19,因此它是第 19 + 1 = 20 项。数值 80 不是数列中的项,因为 77 ÷ 4 不是整数。

常见问题

等差数列第 n 项的公式是什么?

aₙ = a₁ + (n − 1)d,其中 a₁ 为首项,d 为公差,n 为项的位置。对于 5, 8, 11, ……,它给出 aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2,因此第 50 项为 152。

如何求等差级数的和?

用项数乘以首项与末项的平均值:Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2。如果不知道末项,可用 Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2。对于 3, 7, 11, ……的前 20 项,两个公式都得 820。

如何求公差?

用后一项减去前一项。如果您只知道两个不相邻的项,就用它们的差除以两者之间的步数:若 a₃ = 11,a₈ = 36,则 d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5。

如何求项数?

使用 n = (末项 − 首项) ÷ d + 1。对于 7, 12, 17, ……, 102,得 (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20。如果结果不是整数,说明您给出的末项实际上并不在该数列中。

公差可以为零、负数或分数吗?

都可以。当 d = 0 时每一项都相同;当 d 为负数时数列递减,例如 20, 17, 14, ……;当 d 为 1/2 这样的分数时,得到 2, 2.5, 3, ……。计算器都能精确处理。

等差数列和等差级数有什么区别?

数列是各项组成的列表(3, 7, 11, 15);级数是这些项的和(3 + 7 + 11 + 15 = 36)。本工具两者都给出:第 n 项以及部分和 Sₙ。

arithmetic progression 与等差数列是同一回事吗?

是的。arithmetic progression(常写作 AP)就是等差数列的另一种名称,而“等差中项”则是同一概念的逆向说法:三个连续项中间那一项是另外两项的平均值。