Rekenkundige-rijcalculator
Vul de eerste term en het verschil in om elke term van een rekenkundige rij en de som van de eerste n termen te krijgen. Of geef twee termen die je al kent, en de calculator rekent terug naar a₁ en d. Breuken en decimalen blijven exact, termnummers gaan tot 10¹⁵, en elke formule wordt getoond met jouw getallen erin. Gratis, zonder registratie.
Tel dit er telkens bij op. Negatief voor een dalende rij.
Een geheel getal van 1 tot 10¹⁵.
Resultaten
79
Term a₂₀
820
Som S₂₀ van de eerste 20 termen
4
Verschil
3
Eerste term
d is positief, dus de rij stijgt.
Algemene formule
aₙ = 4n − 1
Uitwerking
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
De rij
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Zo gebruik je de rekenkundige-rijcalculator
- 1. Kies wat je weet. Eerste term en verschil is het gebruikelijke geval. Twee termen van de rij is voor vragen als ‘de 3e term is 11 en de 8e is 36’. Zoek waar een waarde staat vertelt je welke term gelijk is aan een getal.
- 2. Vul de velden in. Gehele getallen, decimalen en breuken zoals 3/4 werken allemaal, en het verschil mag negatief zijn. Posities tellen vanaf 1.
- 3. Lees de kaarten. Je krijgt de term aₙ, de som Sₙ van de eerste n termen, het verschil en de eerste term.
- 4. Volg de uitwerking. Elke formule is uitgeschreven met je waarden ingevuld, gevolgd door de eerste paar termen van de rij.
De formules
In een rekenkundige rij wordt steeds hetzelfde bedrag, het verschil d, opgeteld om van elke term naar de volgende te komen: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. De n-de term is daarom
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
De somformule zegt dat het totaal van een rekenkundige reeks gelijk is aan het aantal termen maal het gemiddelde van de eerste en de laatste term. Het verhaal gaat dat de jonge Carl Friedrich Gauss precies dit gebruikte om 1 + 2 + … + 100 op te tellen: er zijn 100 termen met een gemiddelde van (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, dus de som is 5050. Door de termen van beide kanten te koppelen — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — ontstaan 50 paren die elk 101 zijn.
Uitgewerkte voorbeelden
- Term en som. Voor 3, 7, 11, … geldt a₁ = 3 en d = 4. De 20e term is a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, en de som van de eerste 20 termen is S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Als formule: aₙ = 4n − 1.
- Uit twee termen. Als a₃ = 11 en a₈ = 36, dan tellen de vijf stappen van term 3 naar term 8 samen op tot 25, dus d = 25 ÷ 5 = 5. Dan is a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. De rij is 1, 6, 11, 16, …, met a₂₀ = 96 en S₂₀ = 970.
- Waar staat een waarde? In 3, 7, 11, … welke term is 79? Het aantal stappen van 3 naar 79 is (79 − 3) ÷ 4 = 19, dus het is term 19 + 1 = 20. De waarde 80 is geen term, want 77 ÷ 4 is geen geheel getal.
| Je weet | Gebruik |
|---|---|
| a₁, d en n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ en d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Twee termen aₚ en a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), dan a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ en n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Drie opeenvolgende termen a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — elke term is het gemiddelde van zijn buren |
Veelgestelde vragen
- Wat is de formule voor de n-de term van een rekenkundige rij?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, waarbij a₁ de eerste term is, d het verschil en n de positie. Voor 5, 8, 11, … geeft dat aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, dus de 50e term is 152.
- Hoe bereken je de som van een rekenkundige reeks?
- Vermenigvuldig het aantal termen met het gemiddelde van de eerste en de laatste: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Ken je de laatste term niet, gebruik dan Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Beide geven 820 voor de eerste 20 termen van 3, 7, 11, ….
- Hoe vind ik het verschil?
- Trek een term af van de term die erna komt. Ken je alleen twee termen die geen buren zijn, deel dan hun verschil door het aantal stappen ertussen: met a₃ = 11 en a₈ = 36 is d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Hoe vind ik het aantal termen?
- Gebruik n = (laatste term − eerste term) ÷ d + 1. Voor 7, 12, 17, …, 102 is dat (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Is het resultaat geen geheel getal, dan staat de laatste term die je hebt gekregen niet echt in de rij.
- Kan het verschil nul, negatief of een breuk zijn?
- Ja, alle drie. Met d = 0 zijn alle termen gelijk; met een negatief d daalt de rij, zoals in 20, 17, 14, …; met een breuk zoals d = 1/2 krijg je 2, 2,5, 3, …. De calculator rekent ze exact uit.
- Wat is het verschil tussen een rekenkundige rij en een rekenkundige reeks?
- De rij is de lijst van termen (3, 7, 11, 15); de reeks is de som ervan (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Deze tool geeft je beide: de n-de term en de partiële som Sₙ.
- Is een rekenkundige progressie hetzelfde?
- Ja. Rekenkundige progressie is een andere naam voor een rekenkundige rij, en het rekenkundig gemiddelde is hetzelfde idee omgekeerd: de middelste van drie opeenvolgende termen is het gemiddelde van de andere twee.