Eigenwaardecalculator
Vul een vierkante matrix in van maximaal 6 × 6 en krijg de eigenwaarden en eigenvectoren, de karakteristieke veelterm, de controles van spoor en determinant en de diagonalisatie A = PDP⁻¹ als die bestaat. Eigenwaarden komen exact, als breuken, wortels of complexe getallen, zolang de veelterm dat toelaat. Anders komen ze numeriek. Gratis, zonder registratie, en alles draait in je browser.
Gehele getallen, decimale getallen of breuken zoals 3/4.
Resultaten
Eigenwaarden (herhaald naar algebraïsche multipliciteit)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
Spoor
10
Determinant
Exact
Methode
Nee
Symmetrisch?
Ja
Diagonaliseerbaar?
Controle: de eigenwaarden tellen op tot het spoor, 7, en vermenigvuldigen tot de determinant, 10.
Karakteristieke veelterm
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Stelling van de rationale wortels: een rationale wortel is een deler van de constante term gedeeld door een deler van de hoogste coëfficiënt. Gevonden wortels: 2, 5.
Eigenwaarden en eigenvectoren
Elke eigenvector lost (A − λI)v = 0 op. Elk niet-nul veelvoud daarvan is ook een eigenvector.
λ = 2
algebraïsche multipliciteit 1, geometrische multipliciteit 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
algebraïsche multipliciteit 1, geometrische multipliciteit 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Diagonalisatie
De eigenvectoren vormen de kolommen van P, en A = P D P⁻¹ met D de diagonaalmatrix van eigenwaarden.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Zo gebruik je de eigenwaardecalculator
- 1. Kies het formaat. Kies n van 2 tot 6 en vul de n × n-matrix in. Breuken zoals 3/4 en decimale getallen worden exact gelezen.
- 2. Lees de eigenwaarden af. Ze staan opgesomd, met herhalingen naar algebraïsche multipliciteit, naast het spoor en de determinant als snelle controle: de eigenwaarden tellen op tot het spoor en vermenigvuldigen tot de determinant.
- 3. Volg de karakteristieke veelterm. De calculator schrijft p(λ) = det(λI − A), haalt de rationale wortels eruit en lost wat overblijft op met de abc-formule.
- 4. Bekijk de eigenvectoren. Voor elke eigenwaarde zie je A − λI en een basis van zijn eigenruimte, plus P en D als A diagonaliseerbaar is over de rationale getallen.
Wat eigenwaarden en eigenvectoren zijn
Een eigenvector van een vierkante matrix A is een niet-nulvector v die A alleen uitrekt en nooit draait: Av = λv. De scalar λ is de eigenwaarde. Herschreven heeft (A − λI)v = 0 alleen een niet-nuloplossing als A − λI singulier is, en dat gebeurt precies als det(A − λI) = 0. Die vergelijking is de karakteristieke vergelijking, en de veelterm is de karakteristieke veelterm. Deze calculator gebruikt de monische vorm det(λI − A). Die verschilt van det(A − λI) alleen door de factor (−1)ⁿ en heeft dezelfde wortels.
| Term | Betekenis |
|---|---|
| Algebraïsche multipliciteit | Hoe vaak λ een wortel is van de karakteristieke veelterm |
| Geometrische multipliciteit | De dimensie van de eigenruimte: hoeveel onafhankelijke eigenvectoren λ heeft |
| Diagonaliseerbaar | A heeft n onafhankelijke eigenvectoren, dus A = PDP⁻¹; dit vereist dat de geometrische en algebraïsche multipliciteit voor elke eigenwaarde gelijk zijn |
| Defectief | Een eigenwaarde heeft een geometrische multipliciteit die lager is dan zijn algebraïsche multipliciteit |
De geometrische multipliciteit is nooit groter dan de algebraïsche multipliciteit. Symmetrische reële matrices zijn altijd diagonaliseerbaar, met reële eigenwaarden.
Exacte antwoorden en numerieke antwoorden
De karakteristieke veelterm wordt exact berekend, dus er zit geen afronding in. Rationale wortels worden gevonden met de stelling van de rationale wortels en eruit gedeeld. Blijft er een kwadratische vorm over, dan geeft de abc-formule beide resterende eigenwaarden in gesloten vorm, ook complexe, en worden de eigenvectoren exact opgelost in hetzelfde getalsysteem. Dat dekt elke 2 × 2-matrix, elke 3 × 3-matrix waarvan de karakteristieke veelterm een rationale wortel heeft, en grotere matrices die splitsen in rationale wortels plus één kwadratische factor.
Als de veelterm zo niet ontbindt, bijvoorbeeld een irreduceerbare derdegraads of een vierdegraads met irrationele wortels, schakelt de calculator over op het QR-algoritme in dubbele precisie. Het herleidt de matrix tot Hessenberg-vorm, past verschoven QR-stappen toe tot de subdiagonaal verdwijnt, en vindt eigenvectoren met inverse iteratie. Verwacht ongeveer tien correcte cijfers voor een goed geconditioneerde matrix. Een eigenwaarde waarvan het imaginaire deel kleiner is dan 10⁻⁹ van zijn grootte wordt als reëel getoond, en de pagina zegt welke methode is gebruikt.
Uitgewerkte voorbeelden
A = [4 1; 2 3]. Het spoor is 7 en de determinant 10, dus p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Voor λ = 2 is de eigenvector (1, −2), en voor λ = 5 is die (1, 1). Dan heeft P de kolommen (1, −2) en (1, 1), D = diag(2, 5), en A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (de Fibonacci-matrix). Hier heeft p(λ) = λ² − λ − 1 discriminant 5 en geen rationale wortels. De eigenwaarden zijn dus (1 + √5)/2 ≈ 1,618034, de gulden snede, en (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, met eigenvector ((1 + √5)/2, 1) voor de eerste.
A = [0 −1; 1 0], een rotatie over 90°, heeft p(λ) = λ² + 1, dus de eigenwaarden zijn i en −i: geen reële vector behoudt zijn richting. De cyclische permutatiematrix met rijen (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) heeft p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1). Dus zijn de eigenwaarden 1 en de complexe derdemachtswortels van eenheid, (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] heeft λ = 2 met algebraïsche multipliciteit 2, maar slechts één eigenrichting. Hij is dus defectief en kan niet gediagonaliseerd worden.
De 4 × 4-tridiagonale matrix met 2 op de diagonaal en −1 ernaast heeft een irrationeel spectrum, dus hij wordt numeriek berekend. De eigenwaarden zijn 0,381966, 1,381966, 2,618034 en 3,618034. Die komen overeen met 2 − 2cos(kπ/5) voor k = 1 tot 4.
Veelgestelde vragen
- Hoe vind je de eigenwaarden van een 2×2-matrix?
- Bereken het spoor en de determinant, schrijf λ² − (spoor)λ + (determinant) = 0 en los dat op. Voor [4 1; 2 3] is dat λ² − 7λ + 10 = 0, dus λ = 2 en λ = 5. Is de discriminant negatief, dan zijn de eigenwaarden complex geconjugeerd.
- Hoe vind je de eigenvectoren als je de eigenwaarden hebt?
- Los voor elke eigenwaarde λ de vergelijking (A − λI)v = 0 op, meestal met rijreductie. De oplossingen vormen de eigenruimte. Elke niet-nulvector daarin is een eigenvector, dus eigenvectoren zijn alleen bepaald tot op een scalair veelvoud.
- Kan een reële matrix complexe eigenwaarden hebben?
- Ja. Complexe eigenwaarden van een reële matrix komen in geconjugeerde paren voor. Een rotatie van het vlak over een hoek die niet 0° of 180° is, heeft geen reële eigenvector, dus zijn de eigenwaarden complex.
- Wat betekent het als een eigenwaarde 0 is?
- De matrix is singulier: det A = 0, want de determinant is het product van de eigenwaarden. De eigenvectoren voor 0 zijn de niet-nuloplossingen van Ax = 0. De multipliciteit van 0 vertelt hoeveel van de ruimte de matrix platdrukt.
- Wanneer is een matrix diagonaliseerbaar?
- Als ze n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Verschillende eigenwaarden garanderen het, en dat geldt ook voor een reële symmetrische matrix. Een herhaalde eigenwaarde kan het breken als zijn eigenruimte te klein is, zoals in [2 1; 0 2].
- Waarom worden sommige eigenwaarden als decimale getallen getoond?
- Voor 5 × 5- en 6 × 6-matrices, en voor derdegraadsvergelijkingen zonder rationale wortel, past deze tool geen wortelformule toe. Daarom gebruikt hij het QR-algoritme. Die waarden zijn nauwkeurig tot ongeveer tien cijfers. De karakteristieke veelterm ernaast is nog steeds exact.