Geometrische transformatiecalculator

Resultaten

Beelden van de punten

Transformatiematrix

Elke stap is een 3 × 3-matrix die werkt op (x, y, 1). De matrices worden van rechts naar links vermenigvuldigd, dus de eerste stap is de meest rechtse factor.

Voor en na

Blauw is het origineel, oranje het eindbeeld, stippellijnen de figuur na elke eerdere stap, en groen markeert een spiegellijn of een centrum.

Zo gebruik je de geometrische transformatiecalculator

1. 1. Voer de punten in. Typ één x, y-paar per regel, tot twaalf. Drie of meer punten worden getekend als veelhoek, in de volgorde waarin je ze invoert.
2. 2. Kies een transformatie. Elke stap is een translatie, spiegeling, rotatie of dilatatie, met eigen instellingen: de verschuiving, de spiegellijn, de hoek en het centrum, of de schaalfactor en het centrum.
3. 3. Combineer stappen als je wilt. Voeg maximaal vier stappen toe; ze worden in de getoonde volgorde toegepast. De stippellijnen in de plot tonen de figuur na elke eerdere stap.
4. 4. Lees de beelden, de matrices en de plot. De tabel toont elk punt en zijn beeld; de matrices tonen de transformatie als getallen; en de plot legt het origineel over het resultaat.

De vier starre en gelijkvormige transformaties

Transformatiematrices

Translaties zijn niet lineair, dus een 2 × 2-matrix kan ze niet beschrijven. De truc zijn homogene coördinaten: schrijf het punt als (x, y, 1) en gebruik 3 × 3-matrices. Een translatie met (a, b) wordt de matrix met rijen (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); een rotatie over θ wordt (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); een dilatatie met k is (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Omdat elke stap een matrix is, is een hele reeks één matrix: het product van de stapmatrices, met de eerste stap als meest rechtse factor. Een rotatie om een centrum (c, d) is T(c, d) · R · T(−c, −d).

De determinant van het 2 × 2-deel linksboven van de matrix vertelt je hoe oppervlakten veranderen en of de figuur gespiegeld is. Een determinant van 1 behoudt oppervlakte en oriëntatie (translaties en rotaties); −1 behoudt de oppervlakte maar keert de oriëntatie om (een enkele spiegeling); en k² schaalt oppervlakten met het kwadraat van de schaalfactor. De calculator toont die determinant samen met de factor waarmee afstanden worden vermenigvuldigd.

Uitgewerkte voorbeelden

Begin met de driehoek A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), met oppervlakte 3.

• Roteer 90° tegen de klok in om de oorsprong. (x, y) wordt (−y, x), dus A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). De matrix is (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), met determinant 1.
• Spiegel in de y-as. (x, y) wordt (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). De determinant is −1, dus de oriëntatie is omgekeerd.
• Verschuif met (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Dilateer met k = 2 om de oorsprong. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Lengten verdubbelen, en de oppervlakte gaat van 3 naar 12 = 3 × 2².
• Roteer 45° om de oorsprong. Het punt (1, 0) gaat naar (√2/2, √2/2), en dat blijft exact.
• De volgorde is belangrijk. Neem het punt (1, 0). Roteer 90° en verschuif daarna met (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Verschuif eerst en roteer daarna: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Spiegelen in andere lijnen

Voor de lijn y = mx + b gebruikt de calculator de spiegelmatrix in y = mx, namelijk (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) gedeeld door 1 + m², gecombineerd met translaties over b. Alle elementen zijn rationaal, dus het resultaat is exact. Een verticale lijn x = c stuurt x naar 2c − x. Spiegelen van de oorsprong in y = x + 2 geeft bijvoorbeeld (−2, 2), omdat de lijn de middelloodlijn is van het lijnstuk dat het punt met zijn beeld verbindt.

Veelgestelde vragen

Wat is een geometrische transformatie?

Een regel die elk punt van het vlak naar een nieuwe positie brengt. Translaties verschuiven, spiegelingen klappen om een lijn, rotaties draaien om een centrum en dilataties veranderen de grootte rond een centrum. De eerste drie zijn starre bewegingen die afstanden behouden; een dilatatie behoudt de vorm maar verandert de grootte.

Hoe roteer je een punt 90 graden om de oorsprong?

Tegen de klok in wordt (x, y) gelijk aan (−y, x); met de klok mee wordt het (y, −x). Voor (3, 2) geeft dat (−2, 3) tegen de klok in en (2, −3) met de klok mee. Een rotatie van 180° stuurt (x, y) naar (−x, −y).

Hoe roteer je om een ander punt dan de oorsprong?

Trek het centrum af van het punt, roteer het resultaat om de oorsprong en tel het centrum weer op. De calculator doet dit voor je via de matrix T(c) · R · T(−c), en ook voor dilataties rond een gekozen centrum.

Wat gebeurt er met de oppervlakte bij een dilatatie?

Lengten worden vermenigvuldigd met |k| en oppervlakten met k². Een schaalfactor van 3 maakt de figuur drie keer zo breed en negen keer zo groot in oppervlakte. Een negatieve k keert de figuur ook om door het centrum, wat hetzelfde is als een dilatatie met |k| gevolgd door een rotatie van 180°.

Maakt de volgorde van transformaties uit?

Meestal wel. Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief, dus een rotatie gevolgd door een translatie verschilt van de translatie gevolgd door de rotatie, zoals in het voorbeeld hierboven. Twee rotaties om hetzelfde centrum, of twee translaties, kun je wel omwisselen.

Hoe spiegel ik in de lijn y = x?

Wissel de coördinaten om: (x, y) wordt (y, x). Spiegelen in y = −x stuurt (x, y) naar (−y, −x). Voor elke andere lijn y = mx + b kies je die optie bij de spiegelstap en vul je m en b in.