حاسبة التحويل الهندسي
أدخل رؤوس مجموعة من النقاط أو مضلع، واختر حتى أربعة تحويلات — انسحابًا أو انعكاسًا أو دورانًا أو تمددًا — واحصل على صورة كل نقطة، ومصفوفة كل خطوة ومصفوفة التسلسل كله، ورسمًا للشكل قبل التحويل وبعده. تبقى الزوايا القياسية مثل 30° و45° و90° دقيقة. مجاني ودون تسجيل، ولا يُرسَل أي شيء خارج متصفحك.
تُرسم ثلاث نقاط أو أكثر كمضلع، بالترتيب الذي أدخلته.
التحويلات، تُطبَّق بالترتيب
أعداد صحيحة أو عشرية أو كسور مثل 3/4.
النتائج
1
تُضرب المسافات في
1
عامل المساحة (المحدِّد)
محفوظ
التوجيه
3 ← 3
مساحة المضلع
صور النقاط
| النقطة | الأصل | الصورة |
|---|---|---|
| A → A′ | (1, 1) | (−1, 1) |
| B → B′ | (4, 1) | (−1, 4) |
| C → C′ | (1, 3) | (−3, 1) |
مصفوفة التحويل
كل خطوة مصفوفة 3 × 3 تعمل على (x, y, 1). تُضرب المصفوفات من اليمين إلى اليسار، فالخطوة الأولى هي العامل الأيمن.
| 0 | −1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
قبل وبعد
الأزرق هو الأصل، والبرتقالي الصورة النهائية، والمخططات المنقّطة الشكل بعد كل خطوة سابقة، والأخضر يحدد خط انعكاس أو مركزًا.
كيفية استخدام حاسبة التحويل الهندسي
- 1. أدخل النقاط. اكتب زوج x, y واحدًا في كل سطر، حتى اثنتي عشرة نقطة. تُرسم ثلاث نقاط أو أكثر على شكل مضلع بالترتيب الذي تكتبها به.
- 2. اختر تحويلًا. كل خطوة انسحاب أو انعكاس أو دوران أو تمدد، ولها إعداداتها الخاصة: مقدار الإزاحة، أو خط المرآة، أو الزاوية والمركز، أو عامل التمدد والمركز.
- 3. اربط الخطوات عند الحاجة. أضف حتى أربع خطوات؛ تُطبَّق بالترتيب الظاهر. تُظهر الخطوط المنقّطة في الرسم الشكل بعد كل خطوة سابقة.
- 4. اقرأ الصور والمصفوفات والرسم. يعرض الجدول كل نقطة وصورتها؛ وتوضح المصفوفات التحويل بالأرقام؛ ويضع الرسم الشكل الأصلي فوق الناتج.
التحويلات الأربعة الصلبة والتشابهية
| التحويل | القاعدة لـ (x, y) | ما الذي يحفظه |
|---|---|---|
| انسحاب بمقدار (a, b) | (x + a, y + b) | الحجم والشكل والتوجيه والاتجاه |
| انعكاس حول المحور السيني | (x, −y) | الحجم والشكل؛ ويعكس التوجيه |
| انعكاس حول المحور الصادي | (−x, y) | الحجم والشكل؛ ويعكس التوجيه |
| انعكاس حول y = x | (y, x) | الحجم والشكل؛ ويعكس التوجيه |
| دوران بزاوية θ حول نقطة الأصل | (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) | الحجم والشكل والتوجيه |
| تمدد بعامل k حول نقطة الأصل | (kx, ky) | الشكل؛ يضرب الأطوال في |k| والمساحات في k² |
التحويلات حول مركز آخر أو خط آخر تُبنى من هذه: انقل المركز إلى نقطة الأصل، ثم حوّل، ثم أعِد النقل.
مصفوفات التحويل
الانسحابات ليست خطية، لذلك لا تستطيع مصفوفة 2 × 2 وصفها. الحل هو الإحداثيات المتجانسة: نكتب النقطة على الشكل (x, y, 1) ونستخدم مصفوفات 3 × 3. يصبح الانسحاب بمقدار (a, b) المصفوفة ذات الصفوف (1, 0, a) و(0, 1, b) و(0, 0, 1)؛ ويصبح الدوران بزاوية θ الصفوف (cos θ, −sin θ, 0) و(sin θ, cos θ, 0) و(0, 0, 1)؛ والتمدد بعامل k هو (k, 0, 0) و(0, k, 0) و(0, 0, 1). ولأن كل خطوة مصفوفة، فإن التسلسل كله مصفوفة واحدة هي حاصل ضرب مصفوفات الخطوات، والخطوة الأولى هي العامل الأيمن. والدوران حول مركز (c, d) هو T(c, d) · R · T(−c, −d).
يخبرك محدِّد الجزء 2 × 2 من المصفوفة بكيفية تغيّر المساحات، وهل الشكل مقلوب كالمرآة. المحدِّد 1 يحفظ المساحة والتوجيه (الانسحابات والدورانات)؛ والمحدِّد −1 يحفظ المساحة ويقلب التوجيه (انعكاس واحد)؛ أما k² فتضرب المساحات في مربع عامل التمدد. تعرض الحاسبة هذا المحدِّد مع العامل الذي تُضرب فيه المسافات.
أمثلة تطبيقية
نبدأ بالمثلث A(1, 1) وB(4, 1) وC(1, 3)، ومساحته 3.
- دوران 90° عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. يصبح (x, y) هو (−y, x)، فتكون A′(−1, 1) وB′(−1, 4) وC′(−3, 1). المصفوفة (0, −1, 0) و(1, 0, 0) و(0, 0, 1)، ومحدِّدها 1.
- انعكاس حول المحور الصادي. يصبح (x, y) هو (−x, y): A′(−1, 1) وB′(−4, 1) وC′(−1, 3). المحدِّد −1، لذلك انعكس التوجيه.
- انسحاب بمقدار (3, −2). A′(4, −1) وB′(7, −1) وC′(4, 1).
- تمدد بعامل k = 2 حول نقطة الأصل. A′(2, 2) وB′(8, 2) وC′(2, 6). تتضاعف الأطوال، وتنتقل المساحة من 3 إلى 12 = 3 × 2².
- دوران 45° حول نقطة الأصل. تنتقل النقطة (1, 0) إلى (√2/2, √2/2)، وتبقى القيمة دقيقة.
- الترتيب مهم. خذ النقطة (1, 0). إذا دوّرتها 90° ثم انسحبت بمقدار (1, 0): (1, 0) ← (0, 1) ← (1, 1). وإذا انسحبتها أولًا ثم دوّرتها: (1, 0) ← (2, 0) ← (0, 2).
الانعكاس حول خطوط أخرى
بالنسبة إلى الخط y = mx + b تستخدم الحاسبة مصفوفة الانعكاس حول y = mx، وهي (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) مقسومةً على 1 + m²، ملفوفةً بانسحابات بمقدار b. جميع مدخلاتها أعداد نسبية، فتكون النتيجة دقيقة. والخط الشاقولي x = c يرسل x إلى 2c − x. مثلًا، انعكاس نقطة الأصل حول y = x + 2 يعطي (−2, 2)، لأن الخط هو العمود المنصّف للقطعة الواصلة بينهما.
الأسئلة الشائعة
- ما التحويل الهندسي؟
- قاعدة تنقل كل نقطة في المستوى إلى موضع جديد. الانسحاب ينزلق، والانعكاس يقلب حول خط، والدوران يلف حول مركز، والتمدد يغيّر الحجم حول مركز. الثلاثة الأولى حركات صلبة تُبقي المسافات دون تغيير؛ أما التمدد فيحافظ على الشكل ويغيّر حجمه.
- كيف أدوّر نقطة 90 درجة حول نقطة الأصل؟
- عكس اتجاه عقارب الساعة: يصبح (x, y) هو (−y, x)؛ ومع اتجاه عقارب الساعة يصبح (y, −x). وبالنسبة إلى (3, 2) نحصل على (−2, 3) عكس اتجاه العقارب و(2, −3) مع اتجاهها. والدوران بمقدار 180° يرسل (x, y) إلى (−x, −y).
- كيف أدوّر حول نقطة غير نقطة الأصل؟
- اطرح المركز من النقطة، ثم دوّر الناتج حول نقطة الأصل، ثم أعد إضافة المركز. تنفّذ الحاسبة ذلك عبر المصفوفة T(c) · R · T(−c)، وكذلك التمدد حول مركز تختاره.
- ماذا يحدث للمساحة في التمدد؟
- تُضرب الأطوال في |k| والمساحات في k². عامل التمدد 3 يجعل الشكل أعرض ثلاث مرات، ومساحته تسعة أضعاف. والقيمة السالبة لـ k تقلب الشكل أيضًا عبر المركز، وهذا يساوي تمددًا بمقدار |k| يتبعه دوران 180°.
- هل يهم ترتيب التحويلات؟
- غالبًا نعم. ضرب المصفوفات ليس تبادليًا، فالدوران ثم الانسحاب يختلف عن الانسحاب ثم الدوران، كما في المثال أعلاه. أما دورانان حول المركز نفسه، أو انسحابان، فيتبادلان.
- كيف أعكس حول الخط y = x؟
- بتبديل الإحداثيين: يصبح (x, y) هو (y, x). والانعكاس حول y = −x يرسل (x, y) إلى (−y, −x). وبالنسبة إلى أي خط آخر y = mx + b، اختر هذا الخيار في خطوة الانعكاس وأدخل m وb.