حاسبة المساحة
اختر شكلاً، وأدخل قياساته بأي وحدة طول، لتحصل على المساحة في صورة دقيقة — بدلالة π أو الجذر التربيعي حيث ينطبق ذلك — إلى جانب الكسر العشري، والصيغة بأرقامك مُعوَّضة فيها، وشكل موسوم، والمساحة نفسها بوحدات أخرى. مجانية ودون تسجيل؛ وتُحسب كل النتائج في متصفحك.
النتائج
40 cm²
المساحة
قياسات أخرى
| القياس | دقيق | عشري |
|---|---|---|
| المحيط | 26 cm | 26 cm |
| القطر | √89 cm | 9.43 cm |
الحساب
A = l × w
A = l × w = 8 × 5 = 40
الشكل
المساحة نفسها بوحدات أخرى
| الوحدة | المساحة |
|---|---|
| mm² | 4,000 |
| cm² | 40 |
| m² | 0.004 |
| km² | 4E-9 |
| in² | 6.200012 |
| ft² | 0.04305564 |
| yd² | 0.00478396 |
| mi² | 1.5444E-9 |
| ha | 4E-7 |
| ac | 9.8842E-7 |
كيفية استخدام حاسبة المساحة
- 1. اختر الشكل. مربع، مستطيل، مثلث (من قاعدة وارتفاع، أو من ثلاثة أضلاع)، متوازي أضلاع، شبه منحرف، معيّن، مضلع منتظم، قطع ناقص، حلقة، أو قطاع دائري.
- 2. أدخل القياسات. تُقرأ الأعداد الصحيحة والكسور العشرية والكسور مثل 3/4 بدقة. اختر وحدة واحدة للجميع، أو فعّل الخانة لتعطي كل قياس وحدته الخاصة — فـ 2 قدم في 30 بوصة مقبول — ثم اختر وحدة الإجابة.
- 3. اقرأ النتيجة. تظهر المساحة أولاً في صورة دقيقة (مثل 15π أو 15√7/4)، ثم كعدد عشري مقرّب إلى عدد المنازل الذي تختاره. وترد تحتها المحيط والقطر وطول القوس وقياسات أخرى تأتي مع الشكل.
- 4. راجع الحساب والشكل. تُعرض الصيغة بقياساتك مُعوَّضة فيها، ويُرسم الشكل الموسوم بتناسب تقريبي للأبعاد التي كتبتها. ويعرض الجدول الأخير المساحة نفسها بوحدات مربعة أخرى، حُوِّلت كل واحدة منها بمربع معامل الطول.
صيغ المساحة للأشكال الشائعة
المساحة تقيس السطح الذي يشغله شكل مستوٍ، بالوحدات المربعة. وتأخذ كل الصيغ أدناه الارتفاع العمودي — المقاس بزاوية قائمة على القاعدة — لا طول الضلع المائل.
| الشكل | المساحة | ما تحتاجه |
|---|---|---|
| مربع | A = s² | الضلع s |
| مستطيل | A = l × w | الطول l والعرض w |
| مثلث | A = ½ × b × h | القاعدة b والارتفاع العمودي h |
| مثلث بثلاثة أضلاع | A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))، حيث s = (a + b + c) / 2 | الأضلاع a وb وc (صيغة هيرون) |
| متوازي أضلاع | A = b × h | القاعدة b والارتفاع العمودي h |
| شبه منحرف | A = ½ × (a + b) × h | الضلعان المتوازيان a وb، والارتفاع بينهما |
| معيّن | A = ½ × d₁ × d₂ | القطران كلاهما |
| مضلع منتظم | A = n × s² / (4 × tan(180° / n)) | عدد الأضلاع n وطول الضلع s |
| قطع ناقص | A = π × a × b | نصفا المحورين a وb (نصف العرض ونصف الارتفاع) |
| حلقة (annulus) | A = π(R² − r²) | نصف القطر الخارجي R ونصف القطر الداخلي r |
| قطاع دائري | A = ½ × r² × θ = (θ / 360°) × π × r² | نصف القطر r والزاوية المركزية θ (بالراديان في الصيغة الأولى) |
لدائرة كاملة أو محيطها أو قطعة دائرية، استخدم حاسبة الدائرة؛ أما هذه الصفحة فتغطي القطاع، وهو الشريحة من المركز إلى القوس.
أمثلة تطبيقية
- شبه منحرف. ضلعاه المتوازيان 3 و5، وارتفاعه 4: A = ½ × (3 + 5) × 4 = 16 وحدة مربعة. والقطعة المتوسطة، وهي متوسط الضلعين المتوازيين، تساوي 4.
- مثلث من ثلاثة أضلاع. الأضلاع 4 و5 و6 تعطي s = 7.5، فـ A = √(7.5 × 3.5 × 2.5 × 1.5) = 15√7/4 ≈ 9.92. ولم تكن هناك حاجة إلى أي ارتفاع.
- سداسي منتظم. ضلعه 2: A = 6 × 2² / (4 × tan 30°) = 6√3 ≈ 10.39. تحتفظ الحاسبة بالصورة الدقيقة للمضلعات ذات 3 و4 و6 و8 و12 ضلعاً، حيث تكون tan(180° / n) جذراً بسيطاً، وتعطي عدداً عشرياً لعدد أضلاع آخر.
- قطاع. نصف القطر 3 وزاوية 60°: 60° تساوي π/3 راديان، فـ A = ½ × 3² × π/3 = 3π/2 ≈ 4.71، وطول القوس r × θ = π ≈ 3.14.
وحدات المساحة: لماذا تتحوّل الوحدات المربعة بطريقة مختلفة
يتحوّل الطول بعامل واحد، أما المساحة فتستخدم ذلك العامل مربعاً. فالمتر يساوي 100 سنتيمتر، لذا فالمتر المربع يساوي 100 × 100 = 10,000 سنتيمتر مربع — لا 100. والخلط بين الوحدات هو مصدر أغلب أخطاء المساحة: 2 قدم في 30 بوصة هو 2 قدم × 2.5 قدم = 5 قدم²، أي 5 × 144 = 720 بوصة². وتحوّل الحاسبة كل قياس إلى وحدة الإجابة أولاً بدقة تامة، فلا يُقرَّب شيء في الطريق.
| الطول | المساحة |
|---|---|
| 1 m = 100 cm | 1 m² = 10,000 cm² |
| 1 ft = 12 in | 1 ft² = 144 in² |
| 1 yd = 3 ft | 1 yd² = 9 ft² |
| 1 mi = 5,280 ft | 1 mi² = 27,878,400 ft² |
| 1 فدان = 43,560 ft² | 1 هكتار = 10,000 m² |
أخطاء شائعة
- استخدام الضلع المائل في متوازي الأضلاع أو شبه المنحرف حيث تحتاج الصيغة إلى الارتفاع العمودي.
- نسيان الـ ½ في صيغ المثلث وشبه المنحرف والمعيّن والقطاع.
- إدخال زاوية القطاع بالدرجات حيث تتوقع الصيغة الراديان — تقبل الحاسبة أيّاً منهما، لكن A = ½r²θ لا تعمل إلا مع θ بالراديان.
الأسئلة الشائعة
- كيف أجد مساحة الشكل؟
- حدِّد الشكل، وقِس ما تحتاجه صيغته — عادةً قاعدة وارتفاعاً عمودياً، أو ضلعين — وعوِّض بالأعداد. فالمستطيل طول × عرض، والمثلث نصف القاعدة × الارتفاع، والأشكال المبنية على الدائرة تتضمن π. واجعل كل القياسات في الوحدة نفسها قبل الضرب.
- ما الفرق بين المساحة والمحيط؟
- المحيط هو المسافة حول خارج الشكل، بوحدات الطول العادية مثل السنتيمتر. والمساحة مقدار السطح داخله، بوحدات مربعة مثل السنتيمتر المربع. وقد يتساوى محيطا شكلين وتختلف مساحتاهما: فالمربع 4 × 4 والمستطيل 1 × 7 لهما المحيط 16، لكن مساحتيهما 16 و7.
- كيف أحوِّل الوحدات المربعة، مثل m² إلى cm²؟
- ربّع معامل تحويل الطول. ولأن 1 m = 100 cm، فإن 1 m² = 100² = 10,000 cm². وكذلك 1 ft² = 12² = 144 in². وفي الاتجاه العكسي تقسم: 5,000 cm² تساوي 0.5 m².
- كيف أجد مساحة مثلث حين أعرف أضلاعه الثلاثة فقط؟
- استخدم صيغة هيرون. أوجد نصف المحيط s = (a + b + c) / 2، ثم A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). ويجب أن تحقق الأطوال الثلاثة متباينة المثلث — أن يكون الضلع الأطول أقصر من مجموع الضلعين الآخرين — وإلا فلا يوجد مثلث، وستخبرك الحاسبة بذلك.
- ما مساحة المضلع المنتظم؟
- A = n × s² / (4 × tan(180° / n)) لـ n من الأضلاع طول كل منها s، وهي تساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة (apothem) مضروباً في المحيط. والسداسي المنتظم ضلعه s مساحته 3√3/2 × s²، والمثلث متساوي الأضلاع مساحته √3/4 × s².
- كيف أجد مساحة قطاع؟
- خذ الكسر الذي تشغله الزاوية من الدائرة كاملة واضربه في πr²: A = (θ / 360°) × π × r² بالدرجات. وبالراديان تصبح A = ½ × r² × θ. والقطاع 90° ربع الدائرة.
- لماذا لا توجد صيغة بسيطة لمحيط القطع الناقص؟
- المحيط الدقيق يحتاج إلى تكامل إهليلجي لا صورة مغلقة له بالدوال الأولية. وتعرض الحاسبة تقريب رامانوجان، π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]، وهو قريب جداً من القطع الذي لا يكون مستطيلاً كثيراً، ودقيق تماماً للدائرة.