Flächenrechner

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Der Rechenweg

Abbildung

Dieselbe Fläche in anderen Einheiten

So verwenden Sie den Flächenrechner

1. 1. Wählen Sie die Form. Quadrat, Rechteck, Dreieck (aus Grundseite und Höhe oder aus drei Seiten), Parallelogramm, Trapez, Rhombus, regelmäßiges Vieleck, Ellipse, Ring oder Kreissektor.
2. 2. Geben Sie die Maße ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 3/4 werden exakt gelesen. Wählen Sie eine Einheit für alles, oder setzen Sie das Häkchen, um jedem Maß eine eigene Einheit zu geben — 2 ft × 30 in ist zulässig — und wählen Sie die Einheit für das Ergebnis.
3. 3. Lesen Sie das Ergebnis. Die Fläche erscheint zuerst in exakter Form (zum Beispiel 15π oder 15√7/4) und als Dezimalzahl, auf die von Ihnen gewählte Anzahl Stellen gerundet. Umfang, Diagonale, Apothema, Bogenlänge und andere Größen, die zur Form gehören, stehen darunter.
4. 4. Prüfen Sie den Rechenweg und die Abbildung. Die Formel wird mit Ihren Zahlen gezeigt, und die beschriftete Abbildung ist ungefähr im Verhältnis Ihrer Eingaben gezeichnet. Die letzte Tabelle nennt dieselbe Fläche in anderen Flächeneinheiten, jeweils mit dem quadrierten Längenfaktor umgerechnet.

Flächenformeln für gängige Formen

Die Fläche misst die Oberfläche einer ebenen Figur in Quadrateinheiten. Jede Formel unten verwendet die senkrechte Höhe — im rechten Winkel zur Grundseite — und niemals die Länge einer schrägen Seite.

Für einen ganzen Kreis, seinen Umfang oder ein Kreissegment verwenden Sie den Circle Calculator; diese Seite behandelt den Sektor, also das Stück vom Mittelpunkt bis zum Bogen.

Beispiele

1. Trapez. Parallele Seiten 3 und 5, Höhe 4: A = ½ × (3 + 5) × 4 = 16 Quadrateinheiten. Die Mittellinie, der Mittelwert der parallelen Seiten, ist 4.
2. Dreieck aus drei Seiten. Seiten 4, 5 und 6 ergeben s = 7,5, also A = √(7,5 × 3,5 × 2,5 × 1,5) = 15√7/4 ≈ 9,92. Eine Höhe war nicht nötig.
3. Regelmäßiges Sechseck. Seite 2: A = 6 × 2² / (4 × tan 30°) = 6√3 ≈ 10,39. Der Rechner behält eine exakte Form für 3, 4, 6, 8 und 12 Seiten, wo tan(180° / n) ein einfacher Radikand ist, und gibt für andere Seitenzahlen eine Dezimalzahl aus.
4. Sektor. Radius 3 und ein Winkel von 60°: 60° sind π/3 Radiant, also A = ½ × 3² × π/3 = 3π/2 ≈ 4,71, und die Bogenlänge ist r × θ = π ≈ 3,14.

Flächeneinheiten: Warum sich Quadrateinheiten anders umrechnen

Eine Länge rechnet man mit einem einzigen Faktor um, eine Fläche aber mit diesem Faktor quadriert. Ein Meter sind 100 Zentimeter, also ein Quadratmeter 100 × 100 = 10.000 Quadratzentimeter — nicht 100. Beim Mischen von Einheiten passieren die meisten Flächenfehler: 2 ft × 30 in ist 2 ft × 2,5 ft = 5 ft², und das sind 5 × 144 = 720 in². Der Rechner rechnet jedes Maß zuerst exakt in die Ergebniseinheit um, sodass nichts unterwegs gerundet wird.

Häufige Fehler

• Die schräge Seite eines Parallelogramms oder Trapezes verwenden, wo die Formel die senkrechte Höhe braucht.
• Das ½ in den Formeln für Dreieck, Trapez, Rhombus und Sektor weglassen.
• Einen Sektorwinkel in Grad eingeben, wo eine Formel Radiant erwartet — der Rechner akzeptiert beides, aber A = ½r²θ gilt nur mit θ in Radiant.

Häufig gestellte Fragen

Wie findet man die Fläche einer Form?

Bestimmen Sie die Form, messen Sie, was ihre Formel braucht — meist eine Grundseite und eine senkrechte Höhe oder zwei Seiten — und setzen Sie die Zahlen ein. Ein Rechteck ist Länge × Breite, ein Dreieck ist halbe Grundseite × Höhe, und eine Form mit Kreisbezug enthält π. Bringen Sie alle Maße vor dem Multiplizieren in dieselbe Einheit.

Was ist der Unterschied zwischen Fläche und Umfang?

Der Umfang ist die Strecke um die Außenseite einer Form, in gewöhnlichen Einheiten wie Zentimetern. Die Fläche ist die Menge der Oberfläche innen, in Quadrateinheiten wie Quadratzentimetern. Zwei Formen können denselben Umfang und unterschiedliche Flächen haben: Ein Quadrat von 4 × 4 und ein Rechteck von 1 × 7 haben beide einen Umfang von 16, aber Flächen von 16 und 7.

Wie rechne ich Quadrateinheiten um, etwa m² in cm²?

Quadrieren Sie den Umrechnungsfaktor der Länge. Weil 1 m = 100 cm ist, gilt 1 m² = 100² = 10.000 cm². Ebenso ist 1 ft² = 12² = 144 in². Umgekehrt dividieren Sie: 5.000 cm² sind 0,5 m².

Wie finde ich die Fläche eines Dreiecks, wenn ich nur die drei Seiten kenne?

Verwenden Sie die Heron-Formel. Bestimmen Sie den halben Umfang s = (a + b + c) / 2, dann A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Die drei Längen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen — die längste Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen —, sonst gibt es kein Dreieck, und der Rechner meldet das.

Wie groß ist die Fläche eines regelmäßigen Vielecks?

A = n × s² / (4 × tan(180° / n)) für n Seiten der Länge s; das ist dasselbe wie die halbe Apothema mal Umfang. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seite s hat die Fläche 3√3/2 × s², und ein gleichseitiges Dreieck hat √3/4 × s².

Wie finde ich die Fläche eines Sektors?

Nehmen Sie den Anteil des ganzen Kreises, den der Winkel umfasst, und multiplizieren Sie ihn mit πr²: A = (θ / 360°) × π × r² für Grad. In Radiant wird daraus A = ½ × r² × θ. Ein Sektor von 90° ist ein Viertel des Kreises.

Warum gibt es für eine Ellipse keine einfache Umfangsformel?

Der exakte Umfang braucht ein elliptisches Integral ohne geschlossene Form in elementaren Funktionen. Der Rechner zeigt Ramanujans Näherung, π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))], die für wenig gestreckte Ellipsen sehr genau und für einen Kreis exakt ist.