Ableitungsrechner

Ergebnisse

Gelesen als: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

So verwenden Sie den Ableitungsrechner

1. 1. Geben Sie die Funktion ein. Schreiben Sie sie so, wie Sie es auf Papier tun würden: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). Das Multiplikationszeichen darf zwischen einer Zahl oder einem Buchstaben und dem Folgenden entfallen, daher funktionieren 2x und x sin x.
2. 2. Wählen Sie die Variable und die Ordnung. Die Ableitung wird nach x gebildet, sofern Sie keinen anderen Buchstaben wählen. Alle übrigen Buchstaben werden als Konstanten behandelt. Ordnung 2 ergibt die zweite Ableitung, und so weiter bis 5.
3. 3. Geben Sie optional einen Punkt an. Geben Sie 2, -1.5 oder pi/4 ein, um die Funktion und ihre Ableitung dort auszuwerten, wo die Rechnung exakt möglich ist (1/2, 2sin(1) + cos(1)), und als Dezimalzahl.
4. 4. Lesen Sie den Rechenweg. Zuerst erscheint die Antwort, dann jede Ableitung bis zu der von Ihnen gewählten Ordnung und danach eine Zeile für jeden Teilausdruck mit der verwendeten Regel und der entstandenen Ableitung.

Die Regeln, die der Rechner anwendet

Beispiele

Produkt- und Kettenregel zusammen. Für f(x) = x² sin(x) ergibt die Produktregel mit u = x² und v = sin x die Summe u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. Bei x = 1 ist das 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Für f(x) = sin(x²) ist die äußere Funktion der Sinus und das Innere u = x², also f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Quotientenregel, dann höhere Ordnungen. Für f(x) = (x² + 1)/(x − 1) ergibt u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, also f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Bei x = 3 ergibt das 2/4 = 1/2. Leiten Sie noch einmal ab, hat der Zähler der zweiten Ableitung einen Faktor (x − 1), der sich kürzt, und es bleibt f″(x) = 4/(x − 1)³. Der Rechner kürzt solche Faktoren, damit höhere Ableitungen in ihrer kurzen Form erscheinen.

Wie Ihre Eingabe gelesen wird

• Multiplikation. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) und x sin x werden multipliziert. Eine nackte Zahl darf nicht auf einen Buchstaben oder eine Klammer folgen (x2 wird abgelehnt, nicht geraten): Schreiben Sie x*2 oder 2x.
• Division. Die implizite Multiplikation hat dieselbe Rangfolge wie * und / und wird von links nach rechts ausgeführt. 1/2x bedeutet daher (1/2)·x. Schreiben Sie 1/(2x) für die andere Lesart. Die Zeile „Gelesen als“ zeigt genau, was verstanden wurde.
• Potenzen. -x^2 ist −(x²), 2^-x ist 2 hoch −x, und a^b^c ist a^(b^c). sin^2(x) bedeutet (sin x)². sin^-1(x) wird als mehrdeutig abgelehnt; schreiben Sie asin(x) oder 1/sin(x).
• Funktionen ohne Klammern. sin x, ln x^2 (also ln von x²) und sin 2x nehmen ein einfaches Argument; sin x (x+1) bedeutet sin(x) mal (x+1).
• Namen. Variablen sind einzelne Buchstaben, e ist die Eulersche Zahl, pi oder π ist die Kreiszahl π, exp(x) ist eˣ, ln ist der natürliche Logarithmus und log ist der Logarithmus zur Basis 10. log(x, 2) ist der Logarithmus zur Basis 2. Winkel werden im Bogenmaß angegeben.

Was Sie beachten sollten

Die Ergebnisse werden in eine übliche Form gebracht: gleichartige Terme sind zusammengefasst, Polynome ausmultipliziert, gemeinsame Faktoren herausgezogen und gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner gekürzt. Eine anders aussehende Antwort kann trotzdem richtig sein. Prüfen Sie dies, indem Sie beide an einer Stelle auswerten. Das Kürzen eines Faktors wie (x − 1) kann, wie in jedem Computer-Algebra-System, den Definitionsbereich bei x = 1 stillschweigend erweitern. Eine Ableitung wird deshalb nur dort angegeben, wo die ursprüngliche Funktion definiert ist.

Die Ableitung von |u| ist u·u′/|u|. Sie existiert nicht dort, wo u = 0 ist; der Graph zeigt die Ecke. Das Werkzeug leitet explizite Funktionen einer gewählten Variablen ab und behandelt andere Buchstaben als Konstanten. So wird eine partielle Ableitung gebildet. Implizites Ableiten unterstützt es nicht.

Häufig gestellte Fragen

Wie leite ich Schritt für Schritt ab?

Erkennen Sie die äußerste Struktur des Ausdrucks und wenden Sie die passende Regel an: Summen gliedern Sie Summand für Summand, konstante Faktoren ziehen Sie vor, die Produkt- oder Quotientenregel verwenden Sie, wenn zwei Teile beide von x abhängen, und die Kettenregel, wenn eine Funktion etwas anderes als x im Inneren hat. Wiederholen Sie dann das Verfahren für jeden Teil. Der oben gezeigte Rechenweg folgt genau dieser Reihenfolge, von außen nach innen.

Wann verwende ich die Kettenregel und wann die Produktregel?

Die Produktregel verwenden Sie, wenn zwei miteinander multiplizierte Faktoren beide von x abhängen, wie bei x² sin x. Die Kettenregel verwenden Sie, wenn eine Funktion in einer anderen steckt, wie bei sin(x²) oder e^(3x). Viele Aufgaben brauchen beide, etwa x² sin(3x).

Wofür braucht man die zweite Ableitung?

Sie ist die Ableitung der Ableitung und misst, wie schnell sich die Steigung selbst ändert. Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass der Graph nach oben gekrümmt ist (wie eine Schale), eine negative, dass er nach unten gekrümmt ist. An einer Stelle, an der f′ = 0 ist, unterscheidet das Vorzeichen von f″ ein Maximum von einem Minimum.

Kann ich eine partielle Ableitung bilden?

Ja, in dem Sinn, der für die Berechnung wichtig ist. Geben Sie die Funktion mit mehreren Buchstaben ein, zum Beispiel x^2 y + sin(y x), und wählen Sie die Variable, nach der Sie ableiten; die anderen Buchstaben bleiben konstant. Bei Funktionen von mehr als einer Variablen ist der Graph ausgeblendet.

Warum ist die Ableitung von |x| bei 0 nicht definiert?

Der Graph von |x| hat im Ursprung eine scharfe Ecke: Die Steigung ist knapp links davon −1 und knapp rechts davon +1, es gibt also keine eindeutige Tangente. Abseits von 0 ist die Ableitung x/|x|, was für negative x gleich −1 und für positive x gleich +1 ist.

Ist log der natürliche Logarithmus oder der Logarithmus zur Basis 10?

Hier ist log der Logarithmus zur Basis 10, wie auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner, und ln der natürliche Logarithmus. Die Fachgebiete unterscheiden sich hierin, prüfen Sie daher Ihr Lehrbuch. Für eine andere Basis schreiben Sie log(x, b). Die Ableitung von log(x) ist 1/(x ln 10), die von ln(x) ist 1/x.

Warum sieht meine Antwort anders aus als die im Lehrbuch?

Gleichwertige Ausdrücke lassen sich auf viele Arten schreiben: (x + 1)eˣ und xeˣ + eˣ sind dieselbe Funktion. Wenn die Form abweicht, werten Sie beide an ein oder zwei Punkten aus; die Werte am gewählten Punkt helfen dabei. Nehmen Sie nicht gleich an, dass eine Form falsch ist.