Türev Hesaplayıcı

Sonuçlar

Şöyle okunur: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Türev Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır

1. 1. Fonksiyonu yazın. Kâğıt üzerinde yazacağınız gibi yazın: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). Bir sayı ya da harf ile onu izleyen şey arasındaki çarpma işareti atlanabilir; bu yüzden 2x ve x sin x çalışır.
2. 2. Değişkeni ve mertebeyi seçin. Başka bir harf seçmediğiniz sürece türev x'e göre alınır; diğer tüm harfler sabit kabul edilir. 2. mertebe ikinci türevi, 5'e kadar olanlar da sırasıyla verir.
3. 3. Bir sayı istiyorsanız bir nokta ekleyin. 2, -1.5 ya da pi/4 girin; fonksiyon ile türevi orada, cebirin izin verdiği yerde tam olarak (1/2, 2sin(1) + cos(1)) ve ondalık olarak hesaplanır.
4. 4. İşlemi okuyun. Önce yanıt, sonra seçtiğiniz mertebeye kadar her türev, ardından kullanılan kuralı ve ürettiği türevi adlandıran her alt ifade için bir satır görünür.

Hesaplayıcının Uyguladığı Kurallar

Çalışılmış Örnekler

Çarpım ve zincir kuralı birlikte. f(x) = x² sin(x) için u = x² ve v = sin x ile çarpım kuralı u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x verir. x = 1'de bu, 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443 eder. f(x) = sin(x²) için dış fonksiyon sinüstür, iç kısım ise u = x²'dir; bu yüzden f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Bölüm kuralı, sonra yüksek mertebeler. f(x) = (x² + 1)/(x − 1) için u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1 olduğundan f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²'dir. x = 3'te bu, 2/4 = 1/2 eder. Yeniden türev alındığında, ikinci türevin payında sadeleşen bir (x − 1) çarpanı kalır ve f″(x) = 4/(x − 1)³ olur — hesaplayıcı bu tür çarpanları sadeleştirir, böylece yüksek mertebeden türevler kısa biçimlerinde çıkar.

Girdiniz Nasıl Okunur

• Çarpma. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) ve x sin x çarpılır. Bir harfin ya da parantezin ardından çıplak bir sayı gelemez (x2 reddedilir, tahmin edilmez): x*2 ya da 2x yazın.
• Bölme. Örtük çarpma, * ve / ile aynı öncelikte soldan sağa işlenir; bu yüzden 1/2x, (1/2)·x anlamına gelir. Diğer okuma için 1/(2x) yazın. “Şöyle okunur” satırı neyin anlaşıldığını tam olarak gösterir.
• Kuvvetler. -x^2, −(x²) demektir; 2^-x, 2'nin −x kuvvetidir ve a^b^c, a^(b^c)'dir. sin^2(x), (sin x)² anlamına gelir. sin^-1(x) belirsiz olduğu için reddedilir — asin(x) ya da 1/sin(x) yazın.
• Parantezsiz fonksiyonlar. sin x, ln x^2 (x²'nin ln'i) ve sin 2x tek bir basit argüman alır; sin x (x+1), sin(x) çarpı (x+1) demektir.
• Adlar. Değişkenler tek harftir, e Euler sayısıdır, pi ya da π, π'dir; exp(x), eˣ'tir; ln doğal logaritma ve log 10 tabanlı logaritmadır. log(x, 2), 2 tabanlı logaritmadır. Açılar radyan cinsindendir.

Akılda Tutulacaklar

Sonuçlar, alışılmış bir biçime sadeleştirilir — benzer terimler toplanır, polinomlar açılır, ortak çarpanlar dışarı alınır ve pay ile payda arasındaki ortak çarpanlar sadeleştirilir — ancak farklı görünen bir yanıt yine de doğru olabilir. Her ikisini bir noktada değerlendirerek kontrol edin. Herhangi bir cebir sisteminde olduğu gibi, (x − 1) gibi bir çarpanı sadeleştirmek x = 1'de tanım kümesini sessizce genişletebilir; bu yüzden bir türev, yalnızca orijinal fonksiyonun tanımlı olduğu yerlerde geçerli sayılır.

|u| fonksiyonunun türevi u·u′/|u|'dir ve u = 0 olan yerde mevcut değildir; grafik orada bir köşe gösterir. Araç, seçilen tek bir değişkene bağlı açık fonksiyonların türevini alır ve diğer harfleri sabit sayar (kısmi türev de böyle alınır); örtük türev almaz.

Sık sorulan sorular

Bir türevi adım adım nasıl bulursunuz?

İfadenin en dış yapısını belirleyin ve eşleşen kuralı uygulayın: toplamları terim terim ayırın, sabit çarpanları dışarı alın, değişkeni içeren iki parça birlikte çarpılıyorsa çarpım ya da bölüm kuralını, bir fonksiyonun içinde x dışında bir şey varsa zincir kuralını kullanın. Sonra her parça üzerinde tekrarlayın. Yukarıdaki işlem tam olarak bu sırayı, en dıştan başlayarak izler.

Zincir kuralını ne zaman, çarpım kuralını ne zaman kullanırım?

Birlikte çarpılan iki çarpan da x'e bağlıysa, x² sin x'te olduğu gibi çarpım kuralını kullanın. Bir fonksiyon başka bir fonksiyonun içindeyse, sin(x²) ya da e^(3x)'te olduğu gibi zincir kuralını kullanın. Birçok problem ikisini birden gerektirir; örneğin x² sin(3x).

İkinci türev ne işe yarar?

Türevin türevidir; eğimin kendisinin ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. Pozitif bir ikinci türev, grafiğin yukarı doğru içbükey olduğu anlamına gelir (bir fincan gibi kıvrılır); negatif ise aşağı doğru içbükeydir. f′ = 0 olan bir noktada f″'nin işareti, maksimumu minimumdan ayırır.

Kısmi türev alabilir miyim?

Bir şeyi hesaplamak için önemli olan anlamda evet. Birden çok harfle fonksiyonu yazın, örneğin x^2 y + sin(y x), ve türevini alacağınız değişkeni seçin; diğer harfler sabit tutulur. Birden fazla değişkenli fonksiyonlarda grafik gizlenir.

|x|'in türevi neden 0'da tanımsızdır?

|x| grafiğinin orijinde keskin bir köşesi vardır: eğim hemen solda −1, hemen sağda +1'dir, dolayısıyla tek bir teğet doğrusu yoktur. 0'dan uzakta türev x/|x|'tir; negatif x için −1, pozitif x için +1 eder.

log doğal logaritma mı, yoksa 10 tabanlı mı?

Burada log, bilimsel bir hesap makinesindeki gibi 10 tabanlıdır ve ln doğal logaritmadır; konuya göre farklılık gösterebilir, bu yüzden ders kitabınızı kontrol edin. Başka bir taban için log(x, b) yazın. log(x)'in türevi 1/(x ln 10), ln(x)'in türevi ise 1/x'tir.

Yanıtım neden ders kitabınızdakinden farklı görünüyor?

Eşdeğer ifadeler birçok biçimde yazılabilir: (x + 1)eˣ ile xeˣ + eˣ aynı fonksiyondur. Biçim farklıysa, birini yanlış saymak yerine bir iki noktada ikisini de değerlendirin — seçtiğiniz noktadaki değerler bunu yapmanıza olanak verir.