Kalkulator pochodnych

Wyniki

Odczytano jako: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Jak korzystać z kalkulatora pochodnych

1. 1. Wpisz funkcję. Zapisz ją tak, jak na papierze: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). Mnożenie można pominąć między liczbą lub literą a tym, co po nich następuje, więc 2x i x sin x też działają.
2. 2. Wybierz zmienną i rząd. Pochodna liczona jest względem x, chyba że wybierzesz inną literę; każda inna litera traktowana jest jak stała. Rząd 2 daje drugą pochodną itd., do 5.
3. 3. Dodaj punkt, jeśli chcesz liczbę. Wpisz 2, -1.5 lub pi/4, aby otrzymać wartość funkcji i jej pochodnej w tym punkcie – dokładnie tam, gdzie pozwala algebra (1/2, 2sin(1) + cos(1)) – oraz jako liczbę dziesiętną.
4. 4. Odczytaj obliczenia. Najpierw pojawia się wynik, potem wszystkie pochodne do wybranego rzędu, a następnie wiersz dla każdego podwyrażenia z nazwą użytej reguły i otrzymaną pochodną.

Reguły stosowane przez kalkulator

Przykłady krok po kroku

Reguły iloczynu i łańcuchowa razem. Dla f(x) = x² sin(x) reguła iloczynu z u = x² i v = sin x daje u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. Dla x = 1 to 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Dla f(x) = sin(x²) funkcją zewnętrzną jest sinus, a wewnętrzną u = x², więc f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Reguła ilorazu, a potem wyższe rzędy. Dla f(x) = (x² + 1)/(x − 1) mamy u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, więc f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Dla x = 3 wynosi to 2/4 = 1/2. Licząc ponownie, licznik drugiej pochodnej ma czynnik (x − 1), który się skraca, i zostaje f″(x) = 4/(x − 1)³ – kalkulator skraca takie czynniki, dzięki czemu wyższe pochodne mają krótką postać.

Jak program odczytuje wpisane wyrażenie

• Mnożenie. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) i x sin x są mnożone. Sama liczba nie może następować po literze lub nawiasie (x2 jest odrzucane, a nie zgadywane): zapisz x*2 lub 2x.
• Dzielenie. Mnożenie bez znaku ma tę samą kolejność co * i /, od lewej do prawej, więc 1/2x oznacza (1/2)·x. Zapisz 1/(2x), by uzyskać drugie znaczenie. Wiersz „Odczytano jako” pokazuje dokładnie, co zostało zrozumiane.
• Potęgi. -x^2 to −(x²), 2^-x to 2 do potęgi −x, a a^b^c to a^(b^c). sin^2(x) oznacza (sin x)². sin^-1(x) jest odrzucane jako niejednoznaczne – wpisz asin(x) lub 1/sin(x).
• Funkcje bez nawiasów. sin x, ln x^2 (czyli ln z x²) i sin 2x przyjmują jeden prosty argument; sin x (x+1) to sin(x) razy (x+1).
• Nazwy. Zmienne to pojedyncze litery, e to liczba Eulera, pi lub π to π, exp(x) to eˣ, ln to logarytm naturalny, a log to logarytm dziesiętny. log(x, 2) to logarytm przy podstawie 2. Kąty są w radianach.

Na co uważać

Wyniki są sprowadzane do konwencjonalnej postaci – wyrazy podobne są łączone, wielomiany rozwijane, wspólne czynniki wyłączane, a wspólne czynniki licznika i mianownika skracane – ale inaczej wyglądająca odpowiedź może być nadal poprawna. Sprawdź, obliczając obie postacie w jednym punkcie. Skrócenie czynnika takiego jak (x − 1) może po cichu poszerzyć dziedzinę w x = 1, jak w każdym systemie algebraicznym, dlatego pochodna jest podawana tylko tam, gdzie funkcja wyjściowa jest określona.

Pochodna |u| to u·u′/|u|, która nie istnieje tam, gdzie u = 0; wykres pokazuje wtedy załamanie. Narzędzie różniczkuje jawne funkcje jednej wybranej zmiennej, traktując inne litery jako stałe (tak liczy się pochodną cząstkową); nie wykonuje różniczkowania niejawnego.

Najczęstsze pytania

Jak krok po kroku znaleźć pochodną?

Rozpoznaj najbardziej zewnętrzną strukturę wyrażenia i zastosuj pasującą regułę: rozbijaj sumy na składniki, wyciągaj stałe czynniki, stosuj regułę iloczynu lub ilorazu, gdy dwie części zależą od x, a regułę łańcuchową, gdy funkcja ma w środku coś innego niż x. Potem powtórz to na każdym fragmencie. Obliczenia powyżej idą dokładnie w tej kolejności, od zewnątrz.

Kiedy stosować regułę łańcuchową, a kiedy regułę iloczynu?

Regułę iloczynu, gdy dwa czynniki pomnożone przez siebie zależą od x, jak w x² sin x. Regułę łańcuchową, gdy jedna funkcja jest wewnątrz drugiej, jak w sin(x²) lub e^(3x). Wiele zadań wymaga obu, jak x² sin(3x).

Do czego służy druga pochodna?

To pochodna pochodnej, mierzy więc, jak szybko zmienia się samo nachylenie. Dodatnia druga pochodna oznacza wklęsłość w górę (wygięcie jak kielich), ujemna – wklęsłość w dół. W punkcie, gdzie f′ = 0, znak f″ pozwala odróżnić maksimum od minimum.

Czy mogę policzyć pochodną cząstkową?

Tak, w sensie potrzebnym do obliczeń. Wpisz funkcję z kilkoma literami, na przykład x^2 y + sin(y x), i wybierz zmienną, względem której różniczkujesz; pozostałe litery są stałe. Wykres jest ukryty dla funkcji wielu zmiennych.

Dlaczego pochodna |x| nie istnieje w 0?

Wykres |x| ma ostre załamanie w początku układu: nachylenie wynosi −1 tuż po lewej i +1 tuż po prawej, więc nie ma jednej stycznej. Poza zerem pochodna to x/|x|, czyli −1 dla ujemnych x i +1 dla dodatnich.

Czy log to logarytm naturalny, czy dziesiętny?

Tutaj log to logarytm dziesiętny, jak na kalkulatorze naukowym, a ln to logarytm naturalny. W różnych podręcznikach bywa to różnie, więc sprawdź swój. Dla innej podstawy wpisz log(x, b). Pochodna log(x) to 1/(x ln 10), a ln(x) to 1/x.

Dlaczego mój wynik wygląda inaczej niż w podręczniku?

Równoważne wyrażenia można zapisać na wiele sposobów: (x + 1)eˣ i xeˣ + eˣ to ta sama funkcja. Jeśli postać jest inna, oblicz obie w jednym lub dwóch punktach – wartości w wybranym punkcie pozwalają to sprawdzić – zamiast zakładać, że któraś jest błędna.