Công Cụ Tính Đạo Hàm

Kết quả

Đọc thành: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Đạo Hàm

1. 1. Nhập hàm. Viết như khi làm trên giấy: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). Có thể bỏ dấu nhân giữa một số hoặc chữ với phần theo sau, nên 2x và x sin x đều hợp lệ.
2. 2. Chọn biến và cấp. Đạo hàm được lấy theo x trừ khi bạn chọn một chữ cái khác; mọi chữ cái còn lại được coi là hằng số. Cấp 2 cho đạo hàm cấp hai, và cứ thế đến 5.
3. 3. Thêm một điểm nếu bạn muốn có con số. Nhập 2, -1.5 hoặc pi/4 để hàm và đạo hàm của nó được tính tại điểm đó, ở dạng chính xác khi đại số cho phép (1/2, 2sin(1) + cos(1)) và dạng thập phân.
4. 4. Đọc cách giải. Kết quả hiện đầu tiên, rồi đến mọi đạo hàm đến cấp bạn chọn, sau đó là một dòng cho mỗi biểu thức con, nêu quy tắc được dùng và đạo hàm mà nó cho ra.

Các Quy Tắc Công Cụ Áp Dụng

Ví Dụ Minh Họa

Quy tắc tích và quy tắc hàm hợp cùng lúc. Với f(x) = x² sin(x), quy tắc tích với u = x² và v = sin x cho u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. Tại x = 1 thì bằng 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Với f(x) = sin(x²), hàm ngoài là sin và phần bên trong là u = x², nên f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Quy tắc thương, rồi đến các cấp cao hơn. Với f(x) = (x² + 1)/(x − 1), u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, nên f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Tại x = 3 thì bằng 2/4 = 1/2. Lấy đạo hàm thêm lần nữa, tử số của đạo hàm cấp hai có một thừa số (x − 1) triệt tiêu, còn lại f″(x) = 4/(x − 1)³ — công cụ rút gọn các thừa số như vậy để đạo hàm cấp cao hiện ở dạng ngắn gọn.

Cách Công Cụ Đọc Dữ Liệu Của Bạn

• Phép nhân. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) và x sin x đều là phép nhân. Một số không được đứng ngay sau chữ cái hoặc dấu ngoặc (x2 bị từ chối, không được đoán): hãy viết x*2 hoặc 2x.
• Phép chia. Phép nhân ngầm có cùng thứ tự với * và /, từ trái sang phải, nên 1/2x nghĩa là (1/2)·x. Viết 1/(2x) để có cách hiểu khác. Dòng “Đọc thành” hiển thị chính xác những gì đã được hiểu.
• Lũy thừa. -x^2 là −(x²), 2^-x là 2 mũ −x, và a^b^c là a^(b^c). sin^2(x) có nghĩa là (sin x)². sin^-1(x) bị từ chối vì mơ hồ — hãy gõ asin(x) hoặc 1/sin(x).
• Hàm không có dấu ngoặc. sin x, ln x^2 (tức là ln của x²) và sin 2x nhận một đối số đơn giản; sin x (x+1) là sin(x) nhân với (x+1).
• Tên gọi. Biến là một chữ cái đơn, e là số Euler, pi hoặc π là số π, exp(x) là eˣ, ln là logarit tự nhiên và log là logarit cơ số 10. log(x, 2) là logarit cơ số 2. Góc được tính theo radian.

Điều Cần Lưu Ý

Kết quả được rút gọn về dạng quy ước — các số hạng đồng dạng được gộp, đa thức được khai triển, thừa số chung được đưa ra ngoài, và thừa số chung ở tử và mẫu được triệt tiêu — nhưng một đáp án trông khác vẫn có thể đúng. Hãy kiểm tra bằng cách tính cả hai tại một điểm. Việc triệt tiêu một thừa số như (x − 1) có thể âm thầm làm thay đổi miền xác định tại x = 1, như trong mọi hệ thống đại số, nên một đạo hàm chỉ được khẳng định ở nơi hàm gốc có nghĩa.

Đạo hàm của |u| là u·u′/|u|, không tồn tại tại nơi u = 0; đồ thị hiển thị góc nhọn đó. Công cụ lấy đạo hàm của hàm tường minh theo một biến đã chọn, coi các chữ cái khác là hằng số (đó là cách lấy đạo hàm riêng); nó không làm đạo hàm ẩn.

Câu Hỏi Thường Gặp

Làm thế nào để tìm đạo hàm từng bước?

Xác định cấu trúc ngoài cùng của biểu thức và áp dụng quy tắc tương ứng: tách tổng theo từng số hạng, đưa hằng số nhân ra ngoài, dùng quy tắc tích hoặc thương khi hai phần cùng chứa biến, và quy tắc hàm hợp khi một hàm có thứ khác x bên trong. Sau đó lặp lại trên từng phần. Cách giải ở trên làm đúng theo thứ tự đó, từ ngoài vào trong.

Khi nào dùng quy tắc hàm hợp, và khi nào dùng quy tắc tích?

Dùng quy tắc tích khi hai thừa số nhân với nhau đều phụ thuộc vào x, như x² sin x. Dùng quy tắc hàm hợp khi một hàm nằm bên trong hàm khác, như sin(x²) hoặc e^(3x). Nhiều bài cần cả hai, như x² sin(3x).

Đạo hàm cấp hai dùng để làm gì?

Đó là đạo hàm của đạo hàm, nên nó đo tốc độ thay đổi của chính độ dốc. Đạo hàm cấp hai dương nghĩa là đồ thị lõm lên (cong như cái chén); âm nghĩa là lõm xuống. Tại điểm có f′ = 0, dấu của f″ cho biết đó là cực đại hay cực tiểu.

Tôi có thể lấy đạo hàm riêng không?

Có, theo nghĩa quan trọng khi tính toán. Nhập hàm có nhiều chữ cái, chẳng hạn x^2 y + sin(y x), và chọn biến để lấy đạo hàm theo; các chữ cái khác được giữ là hằng số. Đồ thị bị ẩn đối với hàm có nhiều hơn một biến.

Vì sao đạo hàm của |x| không xác định tại 0?

Đồ thị của |x| có góc nhọn tại gốc tọa độ: độ dốc là −1 ngay bên trái và +1 ngay bên phải, nên không có một tiếp tuyến duy nhất. Với x khác 0, đạo hàm là x/|x|, bằng −1 khi x âm và +1 khi x dương.

log là logarit tự nhiên hay cơ số 10?

Ở đây log là cơ số 10, như trên máy tính khoa học, còn ln là logarit tự nhiên; các môn học khác nhau về điều này, nên hãy kiểm tra sách giáo khoa. Với cơ số khác, hãy gõ log(x, b). Đạo hàm của log(x) là 1/(x ln 10), và của ln(x) là 1/x.

Vì sao đáp án của tôi trông khác đáp án trong sách?

Các biểu thức tương đương có thể viết theo nhiều cách: (x + 1)eˣ và xeˣ + eˣ là cùng một hàm. Nếu dạng khác nhau, hãy tính cả hai tại một hoặc hai điểm — các giá trị tại điểm bạn chọn cho phép làm việc đó — thay vì giả định một trong hai là sai.