如何一步一步求导?

先确定表达式最外层的结构,再应用相应的法则:将和拆分为逐项求导,提出常数因子;当两个因子都含变量时使用乘积法则;当函数内部含有 x 以外的部分时使用链式法则。然后对每一部分重复此过程。上面的计算过程正是按此顺序、由外到内进行的。

何时使用链式法则,何时使用乘积法则?

当两个相乘的因子都依赖于 x 时使用乘积法则,如 x² sin x。当一个函数嵌套在另一个函数之中时使用链式法则,如 sin(x²) 或 e^(3x)。许多题目需要两者结合,例如 x² sin(3x)。

二阶导数有什么用?

它是导数的导数,用来衡量斜率本身变化的快慢。二阶导数为正表示图像向上凹(像杯子一样),为负则表示向下凹。在 f′ = 0 的点,f″ 的符号可以区分极大值与极小值。

就计算而言可以。输入含有多个字母的函数,例如 x^2 y + sin(y x),并选择要对其求导的变量;其他字母保持为常数。对于多于一个变量的函数,图像会被隐藏。

为什么 |x| 在 0 处的导数无定义?

|x| 的图像在原点有一个尖角:左侧斜率为 −1,右侧斜率为 +1,因此不存在唯一的切线。在 0 以外,导数为 x/|x|,即 x 为负时为 −1,x 为正时为 +1。

log 是自然对数还是以 10 为底的对数?

这里的 log 为以 10 为底的对数,与科学计算器一致;ln 为自然对数。各教材的习惯不同,请以您的教科书为准。对于其他底数,请输入 log(x, b)。log(x) 的导数为 1/(x ln 10),ln(x) 的导数为 1/x。

为什么我的答案与教科书不一样?

等价的表达式可以有多种写法,例如 (x + 1)eˣ 与 xeˣ + eˣ 是同一个函数。若形式不同,请在一两个点上对两者求值进行比较,而不要直接认定其中一个有误。您所选的点上的数值正可用于此比较。

导数计算器

输入一个函数,即可得到其符号导数:经过化简,每一步都标注所用法则(幂、乘积、商、链式、指数),最高可求到五阶导数,并可在您选择的点上求值,同时显示函数与其导数的图像。全部运算在您的浏览器中完成。免费,无需注册。

要求导的函数

使用 + − * / ^ 和括号。2x、x sin x 和 (x+1)(x−1) 均表示相乘。函数:sin、cos、tan、sec、csc、cot、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、ln、log(以 10 为底)、sqrt、abs。常数:pi 和 e。小数使用小数点。

导数阶数

代入 x = 求值(可选)

一个数或常数,例如 2、−1.5 或 pi/4。

图像起点 x =

终点 x =

结果

解读为: $f (x) = x^{2} \sin (x)$

导数

f^{'} (x) = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)

在 x = 1 处

sin(1) ≈ 0.84147098

f(x)

2sin(1) + cos(1) ≈ 2.2232443

f′(x)

逐步计算过程

每一行对表达式的一部分求导,由外到内进行,并注明所用的法则。

乘积法则
(uv)′ = u′v + uv′,其中 u = x²,v = sin(x)。此处 u′ = 2x,v′ = cos(x)。
d/dx[x² sin(x)] = 2x sin(x) + x² cos(x)
幂法则
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹,此处 n = 2:将指数降下来,并减 1。
d/dx[x²] = 2x
基本导数
sin(x) 的基本导数为 cos(x)。
d/dx[sin(x)] = cos(x)

图像

f(x)(原函数)
f′(x)(导函数)

如何使用导数计算器

1. 输入函数。 按笔算的书写方式输入,例如 3x^4 - 2x^2 + 7x、x^2 sin(x)、(x^2+1)/(x-1)、e^(-x^2)。数字或字母与其后的内容之间可以省略乘号,因此 2x 和 x sin x 均可识别。
2. 选择变量和阶数。 除非您选择其他字母,否则导数将对 x 求取;其他所有字母都视为常数。二阶即二阶导数,最高可到五阶。
3. 如需数值结果,请输入一个点。 输入 2、-1.5 或 pi/4,即可得到函数及其导数在该点的值。在代数能精确表示时给出精确值(如 1/2、2sin(1) + cos(1)),并给出小数值。
4. 阅读计算过程。 先显示答案,然后显示直至您所选阶数的全部导数,再逐行显示每个子表达式所用的法则及其导数结果。

计算器应用的法则

法则	公式	示例
常数倍	(c·g)′ = c·g′	(5x³)′ = 15x²
和	(f + g)′ = f′ + g′	(x² + sin x)′ = 2x + cos x
幂	(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹	(x⁵)′ = 5x⁴,(√x)′ = 1/(2√x)
乘积	(uv)′ = u′v + uv′	(x² sin x)′ = 2x sin x + x² cos x
商	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²	(sin x / x)′ = (x cos x − sin x)/x²
链式	(f(u))′ = f′(u)·u′	(sin x²)′ = 2x cos x²
指数	(aᵘ)′ = aᵘ·ln a·u′	(2ˣ)′ = 2ˣ ln 2,(e^(−x²))′ = −2x e^(−x²)
一般幂	(uᵛ)′ = uᵛ(v′ ln u + v u′/u)	(xˣ)′ = xˣ(ln x + 1)

已知的基本导数:sin、cos、tan、sec、csc、cot、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、ln、log(以 10 为底)、sqrt 和 abs。

示例

乘积法则与链式法则结合。 对于 f(x) = x² sin(x),取 u = x²、v = sin x,应用乘积法则得 u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x。在 x = 1 处,即 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2.2232443。对于 f(x) = sin(x²),外层函数为正弦,内层为 u = x²,因此 f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²)。

商法则,然后求高阶导数。 对于 f(x) = (x² + 1)/(x − 1),u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1,因此 f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²。在 x = 3 处为 2/4 = 1/2。再次求导时,二阶导数的分子含有可约去的 (x − 1) 因子,计算器会约去这类因子,使高阶导数以较短的形式给出,即 f″(x) = 4/(x − 1)³。

输入的解读方式

乘法。 2x、3(x+1)、(x+1)(x-1) 和 x sin x 都表示相乘。数字不能直接跟在字母或括号之后(x2 会被拒绝,而不会被猜测):请写 x*2 或 2x。
除法。 省略乘号的相乘与 * 和 / 同级,从左到右计算,因此 1/2x 表示 (1/2)·x。若需另一种理解,请写 1/(2x)。“解读为”一行会准确显示程序所理解的内容。
幂。 -x^2 表示 −(x²),2^-x 表示 2 的 −x 次方,a^b^c 表示 a^(b^c)。sin^2(x) 表示 (sin x)²。sin^-1(x) 因含义不明而被拒绝——请输入 asin(x) 或 1/sin(x)。
不带括号的函数。 sin x、ln x^2(即 x² 的自然对数)和 sin 2x 只接受一个简单的自变量;sin x (x+1) 表示 sin(x) 乘以 (x+1)。
名称。 变量为单个字母;e 为欧拉数,pi 或 π 表示圆周率,exp(x) 即 eˣ,ln 为自然对数,log 为以 10 为底的对数。log(x, 2) 表示以 2 为底的对数。角度以弧度计。

需要注意的事项

结果会化为惯用形式——同类项合并、多项式展开、公因子提出,并在分子与分母之间约去公因子——但形式不同的答案仍可能正确。可在某一点上对两者求值进行核对。与任何代数系统一样,约去 (x − 1) 这类因子可能会在 x = 1 处悄然扩大定义域,因此只有在原函数有定义处才给出导数。

|u| 的导数为 u·u′/|u|,在 u = 0 处不存在;图像会显示其尖角。本工具对所选的单一变量显式函数求导,并将其他字母视为常数(这正是偏导数的计算方式),它不做隐函数求导。

常见问题

如何一步一步求导?: 先确定表达式最外层的结构,再应用相应的法则:将和拆分为逐项求导,提出常数因子;当两个因子都含变量时使用乘积法则;当函数内部含有 x 以外的部分时使用链式法则。然后对每一部分重复此过程。上面的计算过程正是按此顺序、由外到内进行的。
何时使用链式法则,何时使用乘积法则?: 当两个相乘的因子都依赖于 x 时使用乘积法则,如 x² sin x。当一个函数嵌套在另一个函数之中时使用链式法则,如 sin(x²) 或 e^(3x)。许多题目需要两者结合,例如 x² sin(3x)。
二阶导数有什么用?: 它是导数的导数,用来衡量斜率本身变化的快慢。二阶导数为正表示图像向上凹(像杯子一样),为负则表示向下凹。在 f′ = 0 的点,f″ 的符号可以区分极大值与极小值。
能否求偏导数?: 就计算而言可以。输入含有多个字母的函数,例如 x^2 y + sin(y x),并选择要对其求导的变量;其他字母保持为常数。对于多于一个变量的函数,图像会被隐藏。
为什么 |x| 在 0 处的导数无定义?: |x| 的图像在原点有一个尖角:左侧斜率为 −1,右侧斜率为 +1,因此不存在唯一的切线。在 0 以外,导数为 x/|x|,即 x 为负时为 −1,x 为正时为 +1。
log 是自然对数还是以 10 为底的对数?: 这里的 log 为以 10 为底的对数,与科学计算器一致;ln 为自然对数。各教材的习惯不同,请以您的教科书为准。对于其他底数,请输入 log(x, b)。log(x) 的导数为 1/(x ln 10),ln(x) 的导数为 1/x。
为什么我的答案与教科书不一样?: 等价的表达式可以有多种写法,例如 (x + 1)eˣ 与 xeˣ + eˣ 是同一个函数。若形式不同,请在一两个点上对两者求值进行比较,而不要直接认定其中一个有误。您所选的点上的数值正可用于此比较。