GCF 与 LCM 有什么区别?

最大公因数是能整除列表中每个数的最大的数,因此它永远不大于其中最小的数。最小公倍数是列表中每个数都能整除的最小的数,因此它永远不小于其中最大的数。对于 12 和 18,GCF 为 6,LCM 为 36。

GCF、GCD 和 HCF 是同一回事吗?

是的。最大公因数(GCF)、最大公约数(GCD)和最高公因数(HCF,英国常用术语)是同一个数的三种名称。LCM 有时也被称为“最低公倍数”(lowest common multiple)。

两个质数的 GCF 是多少?

是 1,因为质数的因数只有 1 和它本身。GCF 为 1 的两个数称为互质(relatively prime),它们的 LCM 就是它们的乘积:LCM(7, 11) = 77。数也可以互质而本身不是质数,例如 8 和 15。

如何求三个或更多数的 LCM?

逐对计算:先求前两个数的 LCM,再求该结果与第三个数的 LCM,依此类推。或者将每个数分解为质数,然后把每个质数取它在所有数中达到的最高次幂相乘。

为什么不能输入 0?

每个整数都能整除 0,因此 GCF(0, n) 就是 n,而按惯例 LCM(0, n) 为 0——两者都无需计算,而且 0 没有可展示的质因数分解。去掉 0 后,计算器会比较其余的数。

GCF × LCM 是否总等于这些数的乘积?

只对两个数成立:GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b。对三个或更多数则不成立——对于 2、4 和 8,GCF 为 2,LCM 为 8,它们的乘积为 16,而不是 64。

GCF 与 LCM 计算器

输入两个或更多整数,即可得到它们的最大公因数和最小公倍数。答案以两种方法并排给出——欧几里得除法算法与质因数分解法——方便您按老师所教的方法查看。最多可精确处理 40 位数。

整数

两个或更多,用逗号或空格分隔。符号会被忽略:两者都是按绝对值定义的。

结果

最大公因数 (GCF)

180

最小公倍数 (LCM)

比较的数字个数

用欧几里得算法求 GCF

用较大的数除以较小的数,再用上一个除数去除余数,如此重复,直到余数为 0。最后一个除数就是 GCF。

GCF(12, 18)

18 = 1 × 12 + 6

12 = 2 × 6 + 0

余数已达到 0,因此 GCF(12, 18) = 6。

GCF(6, 30)

30 = 5 × 6 + 0

余数已达到 0,因此 GCF(6, 30) = 6。

数字多于两个时,逐个合并计算:GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6。

由 GCF 求 LCM

对于两个数,LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)。数字更多时,同样逐个合并计算。

LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36

LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180

质因数分解法

将每个数分解为质数。GCF 取所有数共有的质数,并取其最低次幂;LCM 取出现过的每个质数,并取其最高次幂。

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

30 = 2 × 3 × 5

质数	12	18	30	GCF(最低次幂)	LCM(最高次幂)
2	2²	2	2	2	2²
3	3	3²	3	3	3²
5	—	—	5	—	5

GCF = 2 × 3 = 6

LCM = 2² × 3² × 5 = 180

如何使用 GCF 与 LCM 计算器

1. 输入数字。 用逗号或空格分隔,例如:12, 18, 30。两个数即可;最多接受十二个。不要输入千位分隔符,因为这里的逗号会开始一个新数字。
2. 查看两个结果。 GCF 和 LCM 显示在顶部;当 GCF 为 1 时,会附加一条说明,指出这些数互质。
3. 按您所学的方法查看。 欧几里得算法列出每一步除法;质因数表显示每个质数在各个数中的次幂,以及 GCF 和 LCM 各取哪个次幂。
4. 复制结果。 复制按钮会给出一行摘要,例如 GCF(12, 18, 30) = 6; LCM(12, 18, 30) = 180。

求 GCF 与 LCM 的两种方法

欧几里得算法

欧几里得算法出自他的《几何原本》第七卷(约公元前 300 年),基于一个事实:两个数的 GCF 也能整除它们的余数。因此,用较大的数除以较小的数,再用余数替换较大的数,然后重复。当余数为 0 时,最后一个除数即为 GCF。以 48 和 180 为例:

180 = 3 × 48 + 36
48 = 1 × 36 + 12
36 = 3 × 12 + 0  →  GCF(48, 180) = 12

无论数字多大,它都很快:除法次数永远不超过较小数位数的五倍。这正是计算机采用的方法,也是本计算器能即时处理 40 位数的原因。

质因数分解

将每个数写成质数的乘积。GCF 是这些数共有的质数的乘积,每个质数取最低次幂;LCM 是所有出现过的质数的乘积,每个质数取最高次幂。对于 48 = 2⁴ × 3 和 180 = 2² × 3² × 5,GCF 为 2² × 3 = 12,LCM 为 2⁴ × 3² × 5 = 720。这种方法能显示数的结构,但它依赖于因式分解,而对于很大的数,分解会变得很慢。

对于两个数,还有一个把两个结果联系起来的捷径:LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)。以 48 和 180 为例,即 8640 ÷ 12 = 720。本计算器正是用它由 GCF 构造 LCM。

示例:12、18 和 30

前两个数的 GCF。 18 = 1 × 12 + 6,然后 12 = 2 × 6 + 0,因此 GCF(12, 18) = 6。
合并第三个数。 30 = 5 × 6 + 0,因此 GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6。
逐对求 LCM。 LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36,然后 LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180。
用质数检验。 12 = 2² × 3,18 = 2 × 3² 且 30 = 2 × 3 × 5。共有的质数取最低次幂得 2 × 3 = 6;所有质数取最高次幂得 2² × 3² × 5 = 180。

何时需要 GCF 或 LCM

问题	使用	示例
约分分数	GCF	18/30:分子和分母都除以 GCF 6,得到 3/5。
分数相加	LCM	1/12 + 1/18:最小公分母为 36。
分成相等的组	GCF	12 支钢笔和 18 支铅笔最多可做成 6 套相同的组合。
对齐重复的周期	LCM	每 12 分钟和每 18 分钟各发一班的公交车,经过 36 分钟后会再次同时发车。
因式分解表达式	GCF	12x + 18 = 6(2x + 3)。

常见问题

GCF 与 LCM 有什么区别?: 最大公因数是能整除列表中每个数的最大的数,因此它永远不大于其中最小的数。最小公倍数是列表中每个数都能整除的最小的数,因此它永远不小于其中最大的数。对于 12 和 18,GCF 为 6,LCM 为 36。
GCF、GCD 和 HCF 是同一回事吗?: 是的。最大公因数(GCF)、最大公约数(GCD)和最高公因数(HCF,英国常用术语)是同一个数的三种名称。LCM 有时也被称为“最低公倍数”(lowest common multiple)。
两个质数的 GCF 是多少?: 是 1,因为质数的因数只有 1 和它本身。GCF 为 1 的两个数称为互质(relatively prime),它们的 LCM 就是它们的乘积:LCM(7, 11) = 77。数也可以互质而本身不是质数,例如 8 和 15。
如何求三个或更多数的 LCM?: 逐对计算:先求前两个数的 LCM,再求该结果与第三个数的 LCM,依此类推。或者将每个数分解为质数,然后把每个质数取它在所有数中达到的最高次幂相乘。
为什么不能输入 0?: 每个整数都能整除 0,因此 GCF(0, n) 就是 n,而按惯例 LCM(0, n) 为 0——两者都无需计算,而且 0 没有可展示的质因数分解。去掉 0 后,计算器会比较其余的数。
GCF × LCM 是否总等于这些数的乘积?: 只对两个数成立:GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b。对三个或更多数则不成立——对于 2、4 和 8,GCF 为 2,LCM 为 8,它们的乘积为 16,而不是 64。