Was ist der Unterschied zwischen GCF und LCM?

Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die alle Zahlen der Liste teilt; er ist daher nie größer als die kleinste der Zahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, in die jede Zahl der Liste ohne Rest aufgeht; es ist daher nie kleiner als die größte. Für 12 und 18 ist der GCF 6 und das LCM 36.

Sind GCF, GCD und HCF dasselbe?

Ja. Größter gemeinsamer Teiler (GCF), greatest common divisor (GCD) und highest common factor (HCF, im britischen Englisch üblich) sind drei Bezeichnungen für dieselbe Zahl. Das LCM heißt manchmal auch lowest common multiple.

Was ist der GCF zweier Primzahlen?

Er ist 1, denn die einzigen Teiler einer Primzahl sind 1 und sie selbst. Zwei Zahlen, deren GCF 1 ist, heißen teilerfremd (englisch coprime oder relatively prime), und ihr LCM ist einfach ihr Produkt: LCM(7, 11) = 77. Zahlen können teilerfremd sein, ohne Primzahlen zu sein, wie 8 und 15.

Wie findet man das LCM von drei oder mehr Zahlen?

Arbeiten Sie jeweils mit einem Paar: Finden Sie das LCM der ersten beiden, dann das LCM dieses Ergebnisses und der dritten Zahl, und so weiter. Oder zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren und nehmen Sie jeden Primfaktor in der höchsten Potenz, die er in einer der Zahlen erreicht.

Warum kann ich 0 nicht eingeben?

Jede ganze Zahl teilt 0, daher ist GCF(0, n) einfach n, und LCM(0, n) ist per Konvention 0 – beides braucht keine Rechnung, und 0 hat keine Primfaktorzerlegung, die man zeigen könnte. Entfernen Sie die 0, dann vergleicht der Rechner die übrigen Zahlen.

Ist GCF × LCM immer das Produkt der Zahlen?

Nur bei zwei Zahlen: GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b. Bei drei oder mehr stimmt es nicht – für 2, 4 und 8 ist der GCF 2 und das LCM 8, ihr Produkt ist also 16, nicht 64.

GCF- und LCM-Rechner

Geben Sie zwei oder mehr ganze Zahlen ein und erhalten Sie ihren größten gemeinsamen Teiler (GCF) und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Die Lösung wird auf zwei Wegen nebeneinander gezeigt – als euklidischer Divisionsalgorithmus und als Primfaktorzerlegung –, damit Sie dem Weg folgen können, den Ihr Unterricht verwendet. Zahlen mit bis zu 40 Stellen werden exakt berechnet.

Ganze Zahlen

Zwei oder mehr, durch Kommas oder Leerzeichen getrennt. Vorzeichen werden ignoriert: GCF und LCM sind für Absolutwerte definiert.

Ergebnisse

Größter gemeinsamer Teiler (GCF)

180

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Verglichene Zahlen

GCF nach dem euklidischen Algorithmus

Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere, dann den letzten Teiler durch den Rest, bis der Rest 0 ist. Der letzte Teiler ist der GCF.

GCF(12, 18)

18 = 1 × 12 + 6

12 = 2 × 6 + 0

Der Rest erreichte 0, also GCF(12, 18) = 6.

GCF(6, 30)

30 = 5 × 6 + 0

Der Rest erreichte 0, also GCF(6, 30) = 6.

Bei mehr als zwei Zahlen werden sie nacheinander einzeln verrechnet: GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6.

LCM aus dem GCF

Für zwei Zahlen gilt LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Bei mehr Zahlen werden sie nacheinander einzeln verrechnet.

LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36

LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180

Die Methode der Primfaktorzerlegung

Zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren. Der GCF übernimmt jeden Primfaktor, den die Zahlen gemeinsam haben, in seiner niedrigsten Potenz; das LCM übernimmt jeden vorkommenden Primfaktor in seiner höchsten Potenz.

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

30 = 2 × 3 × 5

Primzahl	12	18	30	GCF (niedrigste Potenz)	LCM (höchste Potenz)
2	2²	2	2	2	2²
3	3	3²	3	3	3²
5	—	—	5	—	5

GCF = 2 × 3 = 6

LCM = 2² × 3² × 5 = 180

So verwenden Sie den GCF- und LCM-Rechner

1. Geben Sie die Zahlen ein. Trennen Sie sie durch Kommas oder Leerzeichen: 12, 18, 30. Zwei Zahlen genügen; bis zu zwölf werden akzeptiert. Lassen Sie Tausendertrennzeichen weg, denn ein Komma beginnt hier eine neue Zahl.
2. Lesen Sie die beiden Ergebnisse ab. GCF und LCM erscheinen oben, mit einem Hinweis, wenn der GCF 1 ist und die Zahlen teilerfremd sind.
3. Folgen Sie der Methode, die Sie gelernt haben. Der euklidische Algorithmus listet jede Division auf; die Tabelle der Primfaktoren zeigt die Potenz jedes Primfaktors in jeder Zahl und welche Potenz GCF und LCM übernehmen.
4. Kopieren Sie das Ergebnis. Die Schaltfläche zum Kopieren liefert eine einzeilige Zusammenfassung wie GCF(12, 18, 30) = 6; LCM(12, 18, 30) = 180.

Zwei Wege zu GCF und LCM

Euklidischer Algorithmus

Der euklidische Algorithmus stammt aus Buch VII seiner Elemente (um 300 v. Chr.) und beruht auf einer Tatsache: Der GCF zweier Zahlen teilt auch ihren Rest. Teilen Sie also die größere Zahl durch die kleinere, ersetzen Sie die größere durch den Rest und wiederholen Sie dies. Wenn der Rest 0 erreicht, ist der letzte Teiler der GCF. Für 48 und 180:

180 = 3 × 48 + 36
48 = 1 × 36 + 12
36 = 3 × 12 + 0  →  GCF(48, 180) = 12

Er ist schnell, unabhängig von der Größe der Zahlen: Die Anzahl der Divisionen übersteigt nie das Fünffache der Stellenzahl der kleineren Zahl. Deshalb verwenden Computer diese Methode, und deshalb kann dieser Rechner sofort mit 40-stelligen Zahlen arbeiten.

Primfaktorzerlegung

Schreiben Sie jede Zahl als Produkt von Primzahlen. Der GCF ist das Produkt der Primfaktoren, die die Zahlen gemeinsam haben, jeweils in ihrer niedrigsten Potenz; das LCM ist das Produkt jedes auftretenden Primfaktors, jeweils in seiner höchsten Potenz. Mit 48 = 2⁴ × 3 und 180 = 2² × 3² × 5 ist der GCF 2² × 3 = 12 und das LCM 2⁴ × 3² × 5 = 720. Die Methode macht die Struktur sichtbar, hängt aber vom Faktorisieren ab, das bei sehr großen Zahlen langsam wird.

Für zwei Zahlen gibt es außerdem eine Abkürzung, die die Ergebnisse verbindet: LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). Für 48 und 180 ist das 8640 ÷ 12 = 720. Der Rechner nutzt sie, um das LCM aus dem GCF zu bilden.

Durchgerechnetes Beispiel: 12, 18 und 30

GCF des ersten Paares. 18 = 1 × 12 + 6, dann 12 = 2 × 6 + 0, also GCF(12, 18) = 6.
Die dritte Zahl einbeziehen. 30 = 5 × 6 + 0, also GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6.
LCM, jeweils ein Paar. LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, dann LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
Prüfung mit Primzahlen. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² und 30 = 2 × 3 × 5. Die gemeinsamen Primfaktoren in ihrer niedrigsten Potenz ergeben 2 × 3 = 6; alle Primfaktoren in ihrer höchsten Potenz ergeben 2² × 3² × 5 = 180.

Wann Sie den GCF oder das LCM brauchen

Aufgabe	Verwenden Sie	Beispiel
Einen Bruch kürzen	GCF	18/30: Teilen Sie beides durch den GCF 6, dann erhalten Sie 3/5.
Brüche addieren	LCM	1/12 + 1/18: Der kleinste gemeinsame Nenner ist 36.
In gleiche Gruppen aufteilen	GCF	12 Stifte und 18 Bleistifte ergeben höchstens 6 gleiche Päckchen.
Sich wiederholende Zyklen abgleichen	LCM	Busse im Takt von 12 und 18 Minuten treffen nach 36 Minuten wieder zusammen.
Einen Ausdruck faktorisieren	GCF	12x + 18 = 6(2x + 3).

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen GCF und LCM?: Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die alle Zahlen der Liste teilt; er ist daher nie größer als die kleinste der Zahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, in die jede Zahl der Liste ohne Rest aufgeht; es ist daher nie kleiner als die größte. Für 12 und 18 ist der GCF 6 und das LCM 36.
Sind GCF, GCD und HCF dasselbe?: Ja. Größter gemeinsamer Teiler (GCF), greatest common divisor (GCD) und highest common factor (HCF, im britischen Englisch üblich) sind drei Bezeichnungen für dieselbe Zahl. Das LCM heißt manchmal auch lowest common multiple.
Was ist der GCF zweier Primzahlen?: Er ist 1, denn die einzigen Teiler einer Primzahl sind 1 und sie selbst. Zwei Zahlen, deren GCF 1 ist, heißen teilerfremd (englisch coprime oder relatively prime), und ihr LCM ist einfach ihr Produkt: LCM(7, 11) = 77. Zahlen können teilerfremd sein, ohne Primzahlen zu sein, wie 8 und 15.
Wie findet man das LCM von drei oder mehr Zahlen?: Arbeiten Sie jeweils mit einem Paar: Finden Sie das LCM der ersten beiden, dann das LCM dieses Ergebnisses und der dritten Zahl, und so weiter. Oder zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren und nehmen Sie jeden Primfaktor in der höchsten Potenz, die er in einer der Zahlen erreicht.
Warum kann ich 0 nicht eingeben?: Jede ganze Zahl teilt 0, daher ist GCF(0, n) einfach n, und LCM(0, n) ist per Konvention 0 – beides braucht keine Rechnung, und 0 hat keine Primfaktorzerlegung, die man zeigen könnte. Entfernen Sie die 0, dann vergleicht der Rechner die übrigen Zahlen.
Ist GCF × LCM immer das Produkt der Zahlen?: Nur bei zwei Zahlen: GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b. Bei drei oder mehr stimmt es nicht – für 2, 4 und 8 ist der GCF 2 und das LCM 8, ihr Produkt ist also 16, nicht 64.