GGD- en KGV-calculator
Voer twee of meer hele getallen in en krijg hun grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud. Het antwoord wordt naast elkaar op twee manieren uitgewerkt — het delingsalgoritme van Euclides en de methode van priemfactorisatie — zodat je de methode van je klas kunt volgen. Getallen tot 40 cijfers worden exact verwerkt.
Twee of meer, gescheiden door komma's of spaties. Mintekens worden genegeerd: beide zijn gedefinieerd op absolute waarden.
Resultaten
6
Grootste gemene deler (GGD)
180
Kleinste gemene veelvoud (KGV)
3
Vergeleken getallen
GGD met het algoritme van Euclides
Deel het grootste getal door het kleinste, deel daarna de laatste deler door de rest, en herhaal dit tot de rest 0 is. De laatste deler is de GGD.
GGD(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
De rest bereikte 0, dus GGD(12, 18) = 6.
GGD(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
De rest bereikte 0, dus GGD(6, 30) = 6.
Bij meer dan twee getallen voeg je ze één voor één samen: GGD(GGD(12, 18), 30) = GGD(6, 30) = 6.
KGV uit de GGD
Voor twee getallen geldt KGV(a, b) = a × b ÷ GGD(a, b). Bij meer getallen voeg je ze één voor één samen.
KGV(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
KGV(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
De methode van priemfactorisatie
Ontbind elk getal in priemfactoren. De GGD neemt elk priemgetal dat de getallen gemeen hebben tegen de laagste macht; het KGV neemt elk priemgetal dat voorkomt tegen de hoogste macht.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| Priemgetal | 12 | 18 | 30 | GGD (laagste macht) | KGV (hoogste macht) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
GGD = 2 × 3 = 6
KGV = 2² × 3² × 5 = 180
Zo gebruik je de GGD- en KGV-calculator
- 1. Typ de getallen. Scheid ze met komma's of spaties: 12, 18, 30. Twee getallen zijn genoeg; tot twaalf worden geaccepteerd. Laat duizendtalscheidingstekens weg, want een komma begint hier een nieuw getal.
- 2. Lees de twee antwoorden af. De GGD en het KGV verschijnen bovenaan, met een opmerking als de GGD 1 is en de getallen onderling ondeelbaar zijn.
- 3. Volg de methode die je hebt geleerd. Het algoritme van Euclides laat elke deling zien; de tabel met priemfactoren toont per getal de macht van elk priemgetal en welke macht de GGD en het KGV nemen.
- 4. Kopieer het resultaat. De kopieerknop geeft een samenvatting op één regel, zoals GGD(12, 18, 30) = 6; KGV(12, 18, 30) = 180.
Twee manieren om de GGD en het KGV te vinden
Algoritme van Euclides
Het algoritme van Euclides, uit boek VII van zijn Elementen (rond 300 v.Chr.), rust op één feit: de GGD van twee getallen deelt ook hun rest. Deel dus het grootste getal door het kleinste, vervang het grootste door de rest, en herhaal dit. Als de rest 0 bereikt, is de laatste deler de GGD. Voor 48 en 180:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → GGD(48, 180) = 12
Het is snel, hoe groot de getallen ook zijn: het aantal delingen is nooit meer dan vijf keer het aantal cijfers van het kleinere getal. Daarom gebruiken computers deze methode, en kan deze calculator met getallen van 40 cijfers meteen werken.
Priemfactorisatie
Schrijf elk getal als product van priemgetallen. De GGD is het product van de priemgetallen die de getallen gemeen hebben, elk tegen de laagste macht; het KGV is het product van elk priemgetal dat voorkomt, elk tegen de hoogste macht. Met 48 = 2⁴ × 3 en 180 = 2² × 3² × 5 is de GGD 2² × 3 = 12 en het KGV 2⁴ × 3² × 5 = 720. De methode maakt de structuur zichtbaar, maar hangt af van het ontbinden in factoren, en dat wordt traag bij heel grote getallen.
Voor twee getallen is er ook een snelkoppeling die de antwoorden met elkaar verbindt: KGV(a, b) = a × b ÷ GGD(a, b). Voor 48 en 180 is dat 8640 ÷ 12 = 720. De calculator gebruikt dit om het KGV uit de GGD op te bouwen.
Uitgewerkt voorbeeld: 12, 18 en 30
- GGD van het eerste paar. 18 = 1 × 12 + 6, dan 12 = 2 × 6 + 0, dus GGD(12, 18) = 6.
- Voeg het derde getal toe. 30 = 5 × 6 + 0, dus GGD(GGD(12, 18), 30) = GGD(6, 30) = 6.
- KGV, één paar tegelijk. KGV(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, dan KGV(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- Controle met priemgetallen. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² en 30 = 2 × 3 × 5. De gedeelde priemgetallen tegen hun laagste macht geven 2 × 3 = 6; alle priemgetallen tegen hun hoogste macht geven 2² × 3² × 5 = 180.
Wanneer je de GGD of het KGV nodig hebt
| Probleem | Gebruik | Voorbeeld |
|---|---|---|
| Een breuk vereenvoudigen | GGD | 18/30: deel beide door GGD 6 om 3/5 te krijgen. |
| Breuken optellen | KGV | 1/12 + 1/18: de kleinste gemeenschappelijke noemer is 36. |
| Verdelen in gelijke groepen | GGD | 12 pennen en 18 potloden leveren hoogstens 6 identieke sets op. |
| Herhalende cycli synchroniseren | KGV | Bussen die elke 12 en 18 minuten vertrekken, komen na 36 minuten weer samen. |
| Een uitdrukking ontbinden | GGD | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen de GGD en het KGV?
- De grootste gemene deler is het grootste getal dat elk getal in de lijst deelt, dus hij is nooit groter dan het kleinste getal. Het kleinste gemene veelvoud is het kleinste getal waar elk getal in de lijst op deelbaar is, dus het is nooit kleiner dan het grootste getal. Voor 12 en 18 is de GGD 6 en het KGV 36.
- Zijn GGD, GCD en HCF hetzelfde?
- Ja. Grootste gemene deler (GGD), greatest common divisor (GCD) en highest common factor (HCF, de gebruikelijke Britse term) zijn drie namen voor hetzelfde getal. Het KGV wordt soms ook lowest common multiple genoemd.
- Wat is de GGD van twee priemgetallen?
- Die is 1, want de enige delers van een priemgetal zijn 1 en het getal zelf. Twee getallen waarvan de GGD 1 is, heten onderling ondeelbaar of relatief priem, en hun KGV is simpelweg hun product: KGV(7, 11) = 77. Getallen kunnen onderling ondeelbaar zijn zonder zelf priem te zijn, zoals 8 en 15.
- Hoe vind je het KGV van drie of meer getallen?
- Werk één paar tegelijk af: vind het KGV van de eerste twee, dan het KGV van dat resultaat en het derde getal, enzovoort. Of ontbind elk getal in priemfactoren en vermenigvuldig elk priemgetal tegen de hoogste macht die het in een van de getallen bereikt.
- Waarom kan ik geen 0 invoeren?
- Elk geheel getal deelt 0, dus GGD(0, n) is simpelweg n, en KGV(0, n) is volgens afspraak 0 — geen van beide vraagt om een berekening, en 0 heeft geen priemfactorisatie om te tonen. Verwijder de 0 en de calculator vergelijkt de overige getallen.
- Is GGD × KGV altijd gelijk aan het product van de getallen?
- Alleen voor twee getallen: GGD(a, b) × KGV(a, b) = a × b. Bij drie of meer gaat het mis: voor 2, 4 en 8 is de GGD 2 en het KGV 8, dus GGD × KGV is 16, niet 64, het product van de getallen.