Exponentcalculator
Vul een grondtal en een exponent in om de exacte macht te krijgen: resultaten met gehele getallen tot het laatste cijfer, breuken voor negatieve exponenten, exacte wortels waar die bestaan en decimalen wanneer dat niet zo is. De berekening staat uitgeschreven, en een tabel controleert de exponentwetten op jouw eigen getallen. Gratis, zonder registratie.
Een geheel getal, decimaal of breuk, zoals 2, −1,5 of 3/4.
Geheel, negatief, decimaal of breuk: 10, −3, 0,5 of 2/3.
Wordt alleen gebruikt door de wettentabel hieronder; gehele getallen.
Resultaten
1024
Resultaat
4
Cijfers in het resultaat
De berekening
- Schrijf de exponent 10 in binaire vorm: 1010. Dat betekent 10 = 2 + 8.
- Kwadrateer herhaaldelijk: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Vermenigvuldig de machten die overeenkomen met de binaire cijfers: 2² × 2⁸ = 1024.
De exponentwetten met jouw getallen
Met jouw grondtal en de twee gehele exponenten komen beide kanten van elke wet hetzelfde uit.
| Wet | Regel | Met jouw getallen |
|---|---|---|
| Productregel | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| Quotiëntregel | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| Macht van een macht | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| Negatieve exponent | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| Exponent nul | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
Zo gebruik je de exponentcalculator
- 1. Vul het grondtal in. Een geheel getal, decimaal of breuk: 2, −1,5 of 3/4. Om een negatief getal tot een macht te verheffen, zet je het minteken in het grondtal — invoer van −2 berekent (−2)ⁿ.
- 2. Vul de exponent in. Gehele getallen (10), negatieve (−3), decimalen (0,5) en breuken (2/3) werken allemaal. Decimalen worden als exacte breuken gelezen, dus 0,5 is 1/2.
- 3. Lees het resultaat. Machten van gehele getallen verschijnen volledig, met een aantal cijfers en voor grote waarden wetenschappelijke notatie. Negatieve exponenten geven een breuk en een decimaal; wortels geven een exact antwoord als dat bestaat, anders een decimaal met het aantal decimalen dat je kiest.
- 4. Volg de berekening en de wetten. De stappen hieronder laten zien hoe de macht wordt opgebouwd, en de tabel met wetten controleert de productregel, de quotiëntregel en de machtregel op jouw grondtal.
Wat een exponent betekent
Voor een geheel getal n ≥ 1 betekent bⁿ dat b n keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Elke andere soort exponent is zo gedefinieerd dat dezelfde regels blijven werken. Een exponent nul geeft 1 (voor b ≠ 0), omdat b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Een negatieve exponent is een omgekeerde waarde: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, dus 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Een breukexponent is een wortel en een macht: b^(p/q) is de q-de wortel van b, verheven tot de macht p, dus 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
| Wet | Regel | Voorbeeld |
|---|---|---|
| Product | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotiënt | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| Macht van een macht | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Macht van een product | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| Negatieve exponent | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Exponent nul | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
Uitgewerkt voorbeeld: 2¹³ door herhaald kwadrateren
Bij grotere gehele exponenten laat de calculator zien hoe een computer, of een geduldig mens, de macht opbouwt met weinig vermenigvuldigingen. Schrijf de exponent in binaire vorm, kwadrateer het grondtal herhaaldelijk en vermenigvuldig de kwadraten die overeenkomen met de 1-cijfers.
- 13 in binair is 1101, dus 13 = 1 + 4 + 8.
- Herhaald kwadrateren: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Vermenigvuldig de passende machten: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
- Drie kwadrateringen en twee vermenigvuldigingen vervangen twaalf vermenigvuldigingen één voor één.
Zeer grote resultaten
Machten van gehele getallen worden berekend met exacte grote-getallenrekenkunde, dus er is op geen enkele grootte afronding: 2¹⁰⁰ is 1267650600228229401496703205376 tot het laatste cijfer, wat met drijvendekommagetallen alleen benaderd kan worden als 1,2676506002282294 × 10³⁰. Resultaten tot 20.000 cijfers worden volledig uitgeschreven; daarboven geeft de calculator een schatting van de grootteorde met logaritmen en zegt dat erbij (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²).
Conventies om te kennen
- 0⁰ = 1. Dit is de conventie in de combinatoriek, in machtreeksen en in de meeste software; sommige analyseteksten laten het ongedefinieerd, en de calculator markeert dat geval.
- Nul tot een negatieve macht is niet gedefinieerd, omdat het delen door nul zou betekenen.
- Negatieve grondtallen met breukexponenten. De exponent wordt eerst tot de laagste termen herleid. Als de noemer oneven is, wordt de reële wortel gebruikt, dus (−8)^(1/3) = −2 en (−8)^(2/3) = 4. Als hij even is, is er geen reëel antwoord: (−4)^(1/2) is het complexe getal 2i.
- −2² en (−2)² verschillen. Geschreven als uitdrukking betekent −2² hetzelfde als −(2²) = −4. Hier is het grondtal een getal, dus invoer van −2 met exponent 2 geeft 4.
Veelgestelde vragen
- Wat is een negatieve exponent?
- Een negatieve exponent betekent een omgekeerde waarde, niet een negatief resultaat. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Het teken van het antwoord hangt alleen af van het grondtal, dus (−2)⁻³ = −1/8.
- Wat betekent een breukexponent?
- De noemer is de wortel en de teller is de macht. 27^(2/3) is de derdemachtswortel van 27, dat is 3, gekwadrateerd, dus 9. Een exponent van 1/2 is een vierkantswortel, dus 9^0,5 = 3.
- Waarom is elk getal tot de macht nul gelijk aan 1?
- Omdat de quotiëntregel dat vereist: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, en iets ongelijk aan nul gedeeld door zichzelf is 1. Het geval 0⁰ is een aparte conventie, meestal als 1 genomen.
- Is 2³² hetzelfde als (2³)²?
- Nee. Een gestapelde exponent wordt van boven naar beneden uitgerekend, dus 2^(3²) = 2⁹ = 512, terwijl (2³)² = 8² = 64. Voor het eerste voer je 9 in als exponent; voor het tweede 6.
- Is (a + b)² gelijk aan a² + b²?
- Nee. (a + b)² = a² + 2ab + b². Exponentwetten gelden voor producten, zoals (ab)², maar niet voor sommen. Voor a = 3 en b = 4 is (3 + 4)² = 49, terwijl 3² + 4² = 25.
- Hoe vind ik de exacte waarde van een zeer grote macht?
- Gebruik grote-getallenrekenkunde in plaats van een calculator met drijvende komma. Deze tool doet dat voor gehele exponenten en toont elk cijfer, tot een resultaat van 20.000 cijfers.