घातांक कैलकुलेटर
आधार और घातांक दर्ज करें और सटीक घात पाएँ: पूर्ण-संख्या परिणाम अंतिम अंक तक, ऋणात्मक घातांकों के लिए भिन्न, जहाँ संभव हो वहाँ सटीक मूल, और जहाँ नहीं, वहाँ दशमलव। गणना लिखी जाती है, और एक तालिका आपकी अपनी संख्याओं पर घात-नियमों की जाँच करती है। निःशुल्क, पंजीकरण आवश्यक नहीं।
पूर्ण संख्या, दशमलव या भिन्न, जैसे 2, −1.5 या 3/4।
पूर्ण, ऋणात्मक, दशमलव या भिन्न: 10, −3, 0.5 या 2/3।
केवल नीचे की नियम-तालिका में उपयोग होता है; पूर्ण संख्याएँ।
परिणाम
1024
परिणाम
4
परिणाम में अंक
गणना
- घातांक 10 को द्विआधारी में लिखें: 1010। यानी 10 = 2 + 8।
- बार-बार वर्ग करें: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256।
- मिलान करने वाली घातें गुणा करें: 2² × 2⁸ = 1024।
आपकी संख्याओं पर घात-नियम
आपके आधार और दो पूर्ण-संख्या घातांकों के साथ, हर नियम के दोनों पक्ष एक ही निकलते हैं।
| नियम | सूत्र | आपकी संख्याओं के साथ |
|---|---|---|
| गुणन नियम | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| भाग नियम | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| घात की घात | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| ऋणात्मक घातांक | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| शून्य घातांक | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
घातांक कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. आधार दर्ज करें। पूर्ण संख्या, दशमलव या भिन्न: 2, −1.5 या 3/4। किसी ऋणात्मक संख्या की घात लेने के लिए ऋण चिह्न आधार में रखें — −2 दर्ज करने पर (−2)ⁿ की गणना होती है।
- 2. घातांक दर्ज करें। पूर्ण संख्याएँ (10), ऋणात्मक (−3), दशमलव (0.5) और भिन्न (2/3), सब चलते हैं। दशमलव सटीक भिन्न माने जाते हैं, इसलिए 0.5 का अर्थ है 1/2।
- 3. परिणाम पढ़ें। पूर्ण-संख्या घातें पूरी दिखती हैं, साथ में अंकों की गिनती और बड़े मानों के लिए वैज्ञानिक संकेतन। ऋणात्मक घातांक भिन्न और दशमलव देते हैं; मूल सटीक उत्तर देते हैं जब कोई मौजूद हो, और नहीं तो आपके चुने स्थानों तक दशमलव।
- 4. गणना और नियम देखें। नीचे के चरण दिखाते हैं कि घात कैसे बनती है, और नियम-तालिका आपके आधार पर गुणन, भाग और घात के नियम जाँचती है।
घातांक का अर्थ क्या है
n ≥ 1 वाली पूर्ण संख्या के लिए bⁿ का अर्थ है b को स्वयं से n बार गुणा करना: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32। बाकी हर प्रकार के घातांक ऐसे परिभाषित हैं कि वही नियम काम करते रहें। शून्य घातांक 1 देता है (b ≠ 0 के लिए), क्योंकि b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1। ऋणात्मक घातांक एक व्युत्क्रम है: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, इसलिए 2⁻³ = 1/8 = 0.125। भिन्नात्मक घातांक एक मूल और एक घात है: b^(p/q) वह q-वाँ मूल है जिसे p की घात तक उठाया गया हो, इसलिए 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4।
| नियम | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| गुणन | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| भाग | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| घात की घात | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| गुणनफल की घात | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| ऋणात्मक घातांक | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| शून्य घातांक | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
हल किया गया उदाहरण: 2¹³ बार-बार वर्ग करके
बड़े पूर्ण-संख्या घातांकों के लिए कैलकुलेटर दिखाता है कि कोई कंप्यूटर, या धैर्यवान व्यक्ति, कम गुणनों से घात कैसे बनाता है। घातांक को द्विआधारी में लिखें, आधार को बार-बार वर्ग करें, और उन घातों को गुणा करें जो द्विआधारी के 1 अंकों से मेल खाती हैं।
- 13 द्विआधारी में 1101 है, इसलिए 13 = 1 + 4 + 8।
- बार-बार वर्ग: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256।
- मिलान करने वाली घातें गुणा करें: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192।
- तीन वर्ग और दो गुणन, एक-एक करके होने वाले बारह गुणनों की जगह लेते हैं।
बहुत बड़े परिणाम
पूर्ण-संख्या घातें सटीक बड़े-पूर्णांक अंकगणित से निकाली जाती हैं, इसलिए किसी भी आकार पर कोई गोलाई नहीं होती: 2¹⁰⁰ अंतिम अंक तक 1267650600228229401496703205376 है, जिसे फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित केवल 1.2676506002282294 × 10³⁰ के रूप में अनुमानित कर सकता है। 20,000 अंकों तक के परिणाम पूरे लिखे जाते हैं; उससे आगे कैलकुलेटर लघुगणक से परिमाण-क्रम का अनुमान देता है (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9.99002093 × 10³⁰¹⁰²) और यह बताता है।
जानने योग्य परिपाटियाँ
- 0⁰ = 1। यह संयोजन-विज्ञान, घात-श्रेणियों और अधिकांश सॉफ़्टवेयर में परिपाटी है; कुछ विश्लेषण-पाठ इसे अपरिभाषित छोड़ते हैं, और कैलकुलेटर इस स्थिति को चिह्नित करता है।
- शून्य की ऋणात्मक घात अपरिभाषित है, क्योंकि इसका अर्थ शून्य से भाग होगा।
- ऋणात्मक आधार और भिन्नात्मक घातांक। घातांक पहले न्यूनतम रूप में घटाया जाता है। यदि उसका हर विषम है, तो वास्तविक मूल लिया जाता है, इसलिए (−8)^(1/3) = −2 और (−8)^(2/3) = 4। यदि हर सम है, तो कोई वास्तविक उत्तर नहीं होता: (−4)^(1/2) सम्मिश्र संख्या 2i है।
- −2² और (−2)² अलग हैं। व्यंजक के रूप में लिखा −2² का अर्थ है −(2²) = −4। यहाँ आधार एक संख्या है, इसलिए घातांक 2 के साथ −2 दर्ज करने पर 4 मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- ऋणात्मक घातांक क्या है?
- ऋणात्मक घातांक का अर्थ व्युत्क्रम है, ऋणात्मक परिणाम नहीं। 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0.04। उत्तर का चिह्न केवल आधार पर निर्भर करता है, इसलिए (−2)⁻³ = −1/8।
- भिन्नात्मक घातांक का क्या अर्थ है?
- हर मूल है और अंश घात। 27^(2/3) 27 का घनमूल है, जो 3 है, उसका वर्ग करने पर 9। घातांक 1/2 वर्गमूल है, इसलिए 9^0.5 = 3।
- कोई भी संख्या शून्य की घात पर 1 क्यों होती है?
- भाग का नियम इसकी माँग करता है: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, और कोई भी शून्येतर संख्या स्वयं से भाग देने पर 1 होती है। 0⁰ एक अलग परिपाटी है, जिसे आमतौर पर 1 लिया जाता है।
- क्या 2³² और (2³)² एक ही हैं?
- नहीं। ऊपर-नीचे लिखे घातांक ऊपर से नीचे की ओर हल होते हैं, इसलिए 2^(3²) = 2⁹ = 512, जबकि (2³)² = 8² = 64। पहला पाने के लिए घातांक 9 दर्ज करें; दूसरे के लिए 6।
- क्या (a + b)² बराबर है a² + b² के?
- नहीं। (a + b)² = a² + 2ab + b²। घात-नियम गुणनफलों पर लागू होते हैं, जैसे (ab)², पर योगों पर नहीं। a = 3 और b = 4 के लिए (3 + 4)² = 49, जबकि 3² + 4² = 25।
- किसी बहुत बड़ी घात का सटीक मान कैसे निकालें?
- फ़्लोटिंग-पॉइंट कैलकुलेटर के बजाय बड़े-पूर्णांक अंकगणित का उपयोग करें। यह उपकरण पूर्ण-संख्या घातांकों के लिए यही करता है और 20,000 अंकों तक के परिणाम का हर अंक दिखाता है।