Calculadora de exponentes

Resultados

El desarrollo

• Escribe el exponente 10 en binario: 1010. Eso significa 10 = 2 + 8.
• Eleva al cuadrado repetidamente: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Multiplica las potencias que corresponden a los dígitos binarios: 2² × 2⁸ = 1024.

Las leyes de los exponentes con tus números

Con tu base y los dos exponentes enteros, ambos lados de cada ley dan lo mismo.

Cómo usar la calculadora de exponentes

1. 1. Introduce la base. Un número entero, un decimal o una fracción: 2, −1,5 o 3/4. Para elevar un número negativo a una potencia, pon el signo menos en la base: si escribes −2, se calcula (−2)ⁿ.
2. 2. Introduce el exponente. Funcionan los enteros (10), los negativos (−3), los decimales (0,5) y las fracciones (2/3). Los decimales se leen como fracciones exactas, así que 0,5 es 1/2.
3. 3. Lee el resultado. Las potencias de enteros aparecen completas, con el número de cifras y, para valores grandes, en notación científica. Los exponentes negativos dan una fracción y un decimal; las raíces dan una respuesta exacta cuando existe, y si no, un decimal con las cifras que elijas.
4. 4. Sigue el desarrollo y las leyes. Los pasos de abajo muestran cómo se construye la potencia, y la tabla de leyes comprueba las reglas del producto, del cociente y de la potencia sobre tu base.

Qué significa un exponente

Para un entero n ≥ 1, bⁿ significa b multiplicado por sí mismo n veces: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Los demás tipos de exponente se definen de modo que las mismas reglas sigan funcionando. Un exponente cero da 1 (para b ≠ 0), porque b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Un exponente negativo es un recíproco: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, así que 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Un exponente fraccionario es una raíz y una potencia: b^(p/q) es la raíz q-ésima de b elevada a la potencia p, así que 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Ejemplo desarrollado: 2¹³ por elevación repetida al cuadrado

Para exponentes enteros grandes, la calculadora muestra cómo construye la potencia un ordenador, o una persona paciente, con pocas multiplicaciones. Escribe el exponente en binario, eleva la base al cuadrado repetidamente y multiplica los cuadrados que corresponden a los dígitos 1.

• 13 en binario es 1101, así que 13 = 1 + 4 + 8.
• Elevando al cuadrado repetidamente: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Multiplicando las potencias correspondientes: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
• Tres elevaciones al cuadrado y dos multiplicaciones sustituyen a doce multiplicaciones una a una.

Resultados muy grandes

Las potencias de enteros se calculan con aritmética de enteros grandes exacta, así que no hay redondeo a ningún tamaño: 2¹⁰⁰ es 1267650600228229401496703205376 con todas sus cifras, algo que la aritmética de coma flotante solo puede aproximar como 1,2676506002282294 × 10³⁰. Los resultados de hasta 20.000 cifras se escriben completos; a partir de ahí, la calculadora da una estimación del orden de magnitud con logaritmos (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) y lo indica.

Convenios que conviene conocer

• 0⁰ = 1. Es el convenio de la combinatoria, de las series de potencias y de la mayoría de programas informáticos; algunos textos de análisis lo dejan indefinido, y la calculadora señala el caso.
• Cero elevado a una potencia negativa no está definido, porque equivaldría a dividir entre cero.
• Bases negativas con exponentes fraccionarios. El exponente se reduce primero a términos mínimos. Si su denominador es impar, se usa la raíz real: (−8)^(1/3) = −2 y (−8)^(2/3) = 4. Si es par, no hay respuesta real: (−4)^(1/2) es el número complejo 2i.
• −2² y (−2)² son distintos. Escrito como expresión, −2² significa −(2²) = −4. Aquí la base es un número: si introduces −2 con exponente 2, se obtiene 4.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un exponente negativo?

Un exponente negativo significa un recíproco, no un resultado negativo. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. El signo del resultado depende solo de la base, así que (−2)⁻³ = −1/8.

¿Qué significa un exponente fraccionario?

El denominador es la raíz y el numerador es la potencia. 27^(2/3) es la raíz cúbica de 27, que es 3, elevada al cuadrado: 9. Un exponente 1/2 es una raíz cuadrada, así que 9^0,5 = 3.

¿Por qué cualquier número elevado a cero es igual a 1?

Porque lo exige la regla del cociente: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, y cualquier número distinto de cero dividido entre sí mismo es 1. El caso 0⁰ es un convenio aparte, que normalmente se toma como 1.

¿Es 2³² lo mismo que (2³)²?

No. Un exponente apilado se evalúa de arriba abajo, así que 2^(3²) = 2⁹ = 512, mientras que (2³)² = 8² = 64. Para obtener lo primero, introduce 9 como exponente; para lo segundo, introduce 6.

¿Es (a + b)² igual a a² + b²?

No. (a + b)² = a² + 2ab + b². Las leyes de los exponentes se aplican a productos, como (ab)², pero no a sumas. Para a = 3 y b = 4, (3 + 4)² = 49, mientras que 3² + 4² = 25.

¿Cómo calculo el valor exacto de una potencia muy grande?

Usa aritmética de enteros grandes en lugar de una calculadora de coma flotante. Esta herramienta lo hace para exponentes enteros y muestra todas las cifras, hasta un resultado de 20.000 cifras.