Calculadora de Fibonacci
Introduce n para obtener el n-ésimo número de Fibonacci como número entero exacto, incluso F(100000), que tiene 20.899 cifras. Junto al valor obtienes la fórmula cerrada de Binet comprobada frente a la respuesta exacta, el cociente de términos consecutivos que converge a la razón áurea y una tabla de cualquier tramo de términos que elijas. Gratis, sin registro: funciona en tu navegador.
Un número entero de 0 a 100.000. F(0) = 0, F(1) = 1.
Resultados
354224848179261915075
F(100)
21
Cifras
Fórmula de Binet
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, donde φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 y ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Como |ψ| < 1, el segundo término se desvanece, así que F(n) es φⁿ ÷ √5 redondeado al entero más cercano.
φ^100 ≈ 7,920708398E20
ψ^100 ≈ 1,262513338E-21
φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20
(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, redondeado con aritmética de doble precisión = 354224848179263111168
Esto difiere del F(100) exacto = 354224848179261915075. Un número de doble precisión guarda unas 16 cifras significativas, así que la fórmula de Binet en coma flotante ordinaria se desvía desde aproximadamente n = 70. Las cifras exactas de esta herramienta usan aritmética de números enteros.
Cociente de términos consecutivos
F(n + 1) ÷ F(n) se acerca a la razón áurea φ a medida que n crece, oscilando por encima y por debajo de ella.
φ = 1.618033988749894848204586834365…
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…
Coinciden con φ en las primeras 30 cifras decimales.
La sucesión
Hasta 100 términos.
| n | F(n) | F(n + 1) ÷ F(n), truncado a 10 cifras decimales |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 1 | 1.0000000000 |
| 2 | 1 | 2.0000000000 |
| 3 | 2 | 1.5000000000 |
| 4 | 3 | 1.6666666666 |
| 5 | 5 | 1.6000000000 |
| 6 | 8 | 1.6250000000 |
| 7 | 13 | 1.6153846153 |
| 8 | 21 | 1.6190476190 |
| 9 | 34 | 1.6176470588 |
| 10 | 55 | 1.6181818181 |
| 11 | 89 | 1.6179775280 |
| 12 | 144 | 1.6180555555 |
| 13 | 233 | 1.6180257510 |
| 14 | 377 | 1.6180371352 |
| 15 | 610 | 1.6180327868 |
| 16 | 987 | 1.6180344478 |
| 17 | 1597 | 1.6180338134 |
| 18 | 2584 | 1.6180340557 |
| 19 | 4181 | 1.6180339631 |
Cómo usar la calculadora de Fibonacci
- 1. Introduce n. Cualquier número entero de 0 a 100000. La herramienta usa la indexación F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
- 2. Lee F(n). El valor aparece con su número de cifras. A partir de 40 cifras, la tarjeta muestra las primeras y las últimas, y Copiar todas las cifras copia todas.
- 3. Compara las fórmulas. La sección de Binet muestra φⁿ, ψⁿ y el resultado redondeado junto al término exacto, para que veas dónde deja de ser fiable la aritmética en coma flotante. La sección de razones muestra F(n + 1) ÷ F(n) con 30 decimales junto a φ.
- 4. Lista términos. En La sucesión, elige un término inicial y cuántos mostrar (hasta 100) para obtener una tabla de F(n) con cada cociente F(n + 1) ÷ F(n).
Qué es la sucesión de Fibonacci
Cada término es la suma de los dos anteriores: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), empezando por 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo de Pisa (Fibonacci) la usó en Liber Abaci (1202) para modelar una población de conejos, aunque los números ya habían aparecido en escritos indios sobre métrica poética. Algunos libros empiezan la sucesión en F(1) = F(2) = 1 y omiten F(0); los valores son los mismos, solo cambian los números de posición.
Algunas identidades que conviene conocer: la suma de los términos es F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); cada tercer término es par; F(m) divide a F(n) siempre que m divida a n; y la identidad de Cassini dice que F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.
La fórmula de Binet y sus límites
La fórmula de Binet da F(n) directamente: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, con φ = (1 + √5) ÷ 2 y ψ = (1 − √5) ÷ 2. Como ψ vale aproximadamente −0,618, ψⁿ se acerca a 0 y F(n) es simplemente φⁿ ÷ √5 redondeado al entero más cercano. Para n = 10, φ10 ≈ 122,9919, ψ10 ≈ 0,0081 y (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.
Por qué esta calculadora no usa solo Binet
Una calculadora o una hoja de cálculo corriente guarda unas 16 cifras significativas. En aritmética de doble precisión, la fórmula de Binet falla por primera vez en n = 71, dando 308.061.521.170.130 en lugar del F(71) verdadero, 308.061.521.170.129, y el error crece a partir de ahí. Esta herramienta calcula los términos con aritmética de números enteros exacta (las identidades de duplicación rápida F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) y F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) y muestra Binet solo como comparación.
La razón áurea
Divide cada término entre el anterior y las respuestas se acercan a φ = 1,6180339887…, la razón áurea. Oscilan a su alrededor —2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615…— y cada cociente está más cerca que el anterior. Tras 20 términos, F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 coincide con φ en 7 decimales; F(41) ÷ F(40) coincide en 16; F(101) ÷ F(100) coincide en las 30 cifras que muestra la calculadora. La razón es la misma que en Binet: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.
Ejemplo resuelto: F(100)
F(100) = 354.224.848.179.261.915.075 (21 cifras) Cifras por la fórmula: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21 F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es el número de Fibonacci número 100?
- F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, un número de 21 cifras. Usa la convención F(0) = 0 y F(1) = 1. Si tu fuente numera la sucesión desde 1, 1, 2, 3, …, su término 100 también es F(100); solo las fuentes que eliminan el 1 inicial desplazan la posición en uno.
- ¿Cómo se calcula el n-ésimo número de Fibonacci sin listar cada término?
- Usa la fórmula de Binet para valores pequeños de n, o la duplicación rápida para obtener resultados exactos: construye F(n) a partir de F(n ÷ 2) y F(n ÷ 2 + 1) con unas pocas multiplicaciones, así que incluso F(100000) necesita solo unas 17 duplicaciones. Sumar término a término también funciona, pero requiere n pasos.
- ¿La sucesión empieza en 0 o en 1?
- Se usan ambas convenciones. Las matemáticas suelen empezar en F(0) = 0 y F(1) = 1, que es lo que usa esta calculadora. Muchos libros de texto y acertijos empiezan con 1, 1. Los términos después del inicio son idénticos, así que comprueba qué índice usa tu problema antes de comparar respuestas.
- ¿Qué relación tiene la sucesión de Fibonacci con la razón áurea?
- El cociente de términos consecutivos F(n + 1) ÷ F(n) tiende a φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Y a la inversa, φⁿ ÷ √5 está a menos de 0,5 de F(n), que es la fórmula de Binet. La tabla de la herramienta muestra cómo convergen los cocientes.
- ¿Por qué la fórmula de Binet da un número entero?
- Las partes irracionales se cancelan exactamente: φⁿ y ψⁿ son conjugados, así que su diferencia es un múltiplo de √5. Sin embargo, en aritmética de coma flotante φⁿ se redondea, y a partir de n = 71 aproximadamente el error de redondeo supera 0,5 y la respuesta se equivoca en una o más unidades.
- ¿Cuántas cifras tiene F(n)?
- Aproximadamente 0,2090 × n cifras: exactamente ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 para n ≥ 2. Así, F(1000) tiene 209 cifras y F(100000) tiene 20.899.
- ¿Hay otros números que sigan la misma regla?
- Sí. Cualesquiera dos valores iniciales y la regla «suma los dos anteriores» forman una sucesión tipo Fibonacci; empezando por 2 y 1 se obtienen los números de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Los cocientes de todas esas sucesiones también se acercan a φ. Prueba una sucesión propia en el Number Sequence Solver.