Calcolatore di Fibonacci
Inserisci n per ottenere l'n-esimo numero di Fibonacci come intero esatto, anche F(100000), che ha 20.899 cifre. Accanto al valore trovi la formula chiusa di Binet verificata sul risultato esatto, il rapporto tra termini consecutivi che converge al rapporto aureo e una tabella di qualsiasi sequenza di termini tu scelga. Gratuito, senza registrazione: funziona nel browser.
Un intero da 0 a 100.000. F(0) = 0, F(1) = 1.
Risultati
354224848179261915075
F(100)
21
Cifre
Formula di Binet
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, dove φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 e ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Poiché |ψ| < 1, il secondo termine svanisce, quindi F(n) è φⁿ ÷ √5 arrotondato all'intero più vicino.
φ^100 ≈ 7,920708398E20
ψ^100 ≈ 1,262513338E-21
φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20
(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, arrotondato in aritmetica a doppia precisione = 354224848179263111168
Questo differisce dall'esatto F(100) = 354224848179261915075. Un numero in doppia precisione ha circa 16 cifre significative, quindi la formula di Binet in aritmetica ordinaria in virgola mobile si discosta già da n ≈ 70. I valori esatti qui usano l'aritmetica con interi.
Rapporto tra termini consecutivi
F(n + 1) ÷ F(n) si avvicina al rapporto aureo φ man mano che n cresce, alternando sopra e sotto di esso.
φ = 1.618033988749894848204586834365…
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…
Questi coincidono con φ per le prime 30 cifre decimali.
La sequenza
Fino a 100 termini.
| n | F(n) | F(n + 1) ÷ F(n), troncato a 10 cifre |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 1 | 1.0000000000 |
| 2 | 1 | 2.0000000000 |
| 3 | 2 | 1.5000000000 |
| 4 | 3 | 1.6666666666 |
| 5 | 5 | 1.6000000000 |
| 6 | 8 | 1.6250000000 |
| 7 | 13 | 1.6153846153 |
| 8 | 21 | 1.6190476190 |
| 9 | 34 | 1.6176470588 |
| 10 | 55 | 1.6181818181 |
| 11 | 89 | 1.6179775280 |
| 12 | 144 | 1.6180555555 |
| 13 | 233 | 1.6180257510 |
| 14 | 377 | 1.6180371352 |
| 15 | 610 | 1.6180327868 |
| 16 | 987 | 1.6180344478 |
| 17 | 1597 | 1.6180338134 |
| 18 | 2584 | 1.6180340557 |
| 19 | 4181 | 1.6180339631 |
Come usare il calcolatore di Fibonacci
- 1. Inserisci n. Un intero qualsiasi da 0 a 100.000. Lo strumento usa la numerazione F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
- 2. Leggi F(n). Il valore compare con il numero di cifre. Oltre le 40 cifre la scheda mostra la prima e l'ultima cifra, e Copia tutte le cifre le copia tutte.
- 3. Confronta le formule. La sezione di Binet mostra φⁿ, ψⁿ e il risultato arrotondato accanto al termine esatto, così vedi dove l'aritmetica in virgola mobile smette di essere affidabile. La sezione dei rapporti mostra F(n + 1) ÷ F(n) con 30 decimali accanto a φ.
- 4. Elenca i termini. In La sequenza, scegli il termine iniziale e quanti termini mostrare (fino a 100) per ottenere una tabella di F(n) con ciascun rapporto F(n + 1) ÷ F(n).
Che cos'è la successione di Fibonacci
Ogni termine è la somma dei due precedenti: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), partendo da 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo da Pisa (Fibonacci) la usò nel Liber Abaci (1202) per modellare la crescita di una popolazione di conigli, anche se i numeri erano già comparsi nella letteratura indiana sulla metrica poetica. Alcuni libri iniziano la successione da F(1) = F(2) = 1 e omettono F(0): i valori sono gli stessi, cambiano solo i numeri di posizione.
Alcune identità utili: la somma dei termini è F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); ogni terzo termine è pari; F(m) divide F(n) ogni volta che m divide n; e l'identità di Cassini dice che F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.
La formula di Binet e i suoi limiti
La formula di Binet fornisce direttamente F(n): F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, con φ = (1 + √5) ÷ 2 e ψ = (1 − √5) ÷ 2. Poiché ψ è circa −0,618, ψⁿ tende a 0 e F(n) è semplicemente φⁿ ÷ √5 arrotondato all'intero più vicino. Per n = 10, φ10 ≈ 122,9919, ψ10 ≈ 0,0081 e (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.
Perché questo calcolatore non usa semplicemente Binet
Un normale calcolatore o foglio elettronico memorizza circa 16 cifre significative. In aritmetica a doppia precisione la formula di Binet sbaglia per la prima volta a n = 71, dando 308061521170130 invece del vero F(71) = 308061521170129, e l'errore cresce da lì. Questo strumento calcola i termini con l'aritmetica esatta sugli interi (le identità di raddoppio veloce F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) e F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) e mostra Binet solo come confronto.
Il rapporto aureo
Dividi ogni termine per quello che lo precede e le risposte si avvicinano a φ = 1,6180339887…, il rapporto aureo. Oscillano intorno ad esso — 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615… — e ogni rapporto è più vicino del precedente. Dopo 20 termini, F(21) ÷ F(20) = 10.946 ÷ 6.765 coincide con φ per 7 cifre decimali; F(41) ÷ F(40) coincide per 16; F(101) ÷ F(100) coincide per tutte le 30 cifre mostrate dal calcolatore. Il motivo è lo stesso di Binet: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.
Esempio svolto: F(100)
F(100) = 354224848179261915075 (21 cifre) Cifre con la formula: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21 F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…
Domande frequenti
- Qual è il centesimo numero di Fibonacci?
- F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, un numero di 21 cifre. Questo usa la convenzione F(0) = 0 e F(1) = 1. Se la tua fonte numera la successione da 1, 1, 2, 3, …, il suo centesimo termine è comunque F(100); solo le fonti che eliminano il primo 1 spostano la posizione di uno.
- Come si trova l'n-esimo numero di Fibonacci senza elencare ogni termine?
- Usa la formula di Binet per n piccoli, oppure il raddoppio veloce per risultati esatti: costruisce F(n) da F(n ÷ 2) e F(n ÷ 2 + 1) con poche moltiplicazioni, quindi anche F(100000) richiede solo circa 17 raddoppi. Sommare termine per termine funziona ma richiede n passi.
- La successione di Fibonacci inizia da 0 o da 1?
- Sono in uso entrambe le convenzioni. La matematica di solito inizia da F(0) = 0, F(1) = 1 (questo calcolatore). Molti libri di testo e giochi iniziano con 1, 1. I termini dopo l'inizio sono identici, quindi controlla quale indice intende il tuo problema prima di confrontare le risposte.
- In che modo la successione di Fibonacci è legata al rapporto aureo?
- Il rapporto tra termini consecutivi F(n + 1) ÷ F(n) tende a φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Viceversa, φⁿ ÷ √5 dista meno di 0,5 da F(n), che è la formula di Binet. La tabella dello strumento mostra i rapporti che convergono.
- Perché la formula di Binet dà un intero?
- Le parti irrazionali si annullano esattamente: φⁿ e ψⁿ sono coniugati, quindi la loro differenza è un multiplo di √5. Nell'aritmetica in virgola mobile, però, φⁿ viene arrotondato, e da circa n = 71 l'errore di arrotondamento supera 0,5 e il risultato è sbagliato di uno o più.
- Quante cifre ha F(n)?
- Circa 0,2090 × n cifre: con precisione, ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 per n ≥ 2. Quindi F(1000) ha 209 cifre e F(100000) ne ha 20.899.
- Ci sono altri numeri che seguono la stessa regola?
- Sì. Due valori iniziali qualsiasi e la regola «somma i due precedenti» generano una successione di tipo Fibonacci; partendo da 2 e 1 si ottengono i numeri di Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Anche i rapporti di tutte queste successioni tendono a φ. Prova una successione tua nel Risolutore di Successioni Numeriche.