Calculateur de Fibonacci
Saisissez n pour obtenir le n-ième nombre de Fibonacci sous forme d'entier exact — même F(100 000), qui compte 20 899 chiffres. À côté de la valeur, vous obtenez la formule fermée de Binet vérifiée par rapport à la réponse exacte, le rapport de termes consécutifs qui converge vers le nombre d'or, et un tableau de la suite de termes de votre choix. Gratuit, sans inscription : le calcul se fait dans votre navigateur.
Un entier de 0 à 100 000. F(0) = 0, F(1) = 1.
Résultats
354224848179261915075
F(100)
21
Chiffres
Formule de Binet
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, où φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 et ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Comme |ψ| < 1, le second terme s'éteint : F(n) est donc φⁿ ÷ √5 arrondi à l'entier le plus proche.
φ^100 ≈ 7,920708398E20
ψ^100 ≈ 1,262513338E-21
φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20
(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, arrondi en arithmétique à double précision = 354224848179263111168
Ceci diffère du F(100) exact = 354224848179261915075. Un double porte environ 16 chiffres significatifs ; la formule de Binet en virgule flottante ordinaire dérive donc à partir de n ≈ 70. Les valeurs exactes ici utilisent une arithmétique sur les entiers.
Rapport de termes consécutifs
F(n + 1) ÷ F(n) se rapproche du nombre d'or φ quand n augmente, en oscillant au-dessus et au-dessous de lui.
φ = 1.618033988749894848204586834365…
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…
Ceux-ci concordent avec φ sur les 30 premières décimales.
La suite
Jusqu'à 100 termes.
| n | F(n) | F(n + 1) ÷ F(n), tronqué à 10 décimales |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 1 | 1.0000000000 |
| 2 | 1 | 2.0000000000 |
| 3 | 2 | 1.5000000000 |
| 4 | 3 | 1.6666666666 |
| 5 | 5 | 1.6000000000 |
| 6 | 8 | 1.6250000000 |
| 7 | 13 | 1.6153846153 |
| 8 | 21 | 1.6190476190 |
| 9 | 34 | 1.6176470588 |
| 10 | 55 | 1.6181818181 |
| 11 | 89 | 1.6179775280 |
| 12 | 144 | 1.6180555555 |
| 13 | 233 | 1.6180257510 |
| 14 | 377 | 1.6180371352 |
| 15 | 610 | 1.6180327868 |
| 16 | 987 | 1.6180344478 |
| 17 | 1597 | 1.6180338134 |
| 18 | 2584 | 1.6180340557 |
| 19 | 4181 | 1.6180339631 |
Comment utiliser le calculateur de Fibonacci
- 1. Saisissez n. Tout entier de 0 à 100 000. L'outil utilise la numérotation F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
- 2. Lisez F(n). La valeur apparaît avec son nombre de chiffres. Au-delà de 40 chiffres, la carte affiche les premiers et les derniers chiffres, et Copier tous les chiffres les copie tous.
- 3. Comparez les formules. La section Binet affiche φⁿ, ψⁿ et le résultat arrondi à côté du terme exact, pour voir à partir de quand l'arithmétique en virgule flottante cesse d'être fiable. La section des rapports affiche F(n + 1) ÷ F(n) sur 30 décimales à côté de φ.
- 4. Listez des termes. Dans La suite, choisissez un terme de départ et le nombre de termes à afficher (jusqu'à 100) pour obtenir un tableau de F(n) avec chaque rapport F(n + 1) ÷ F(n).
Qu'est-ce que la suite de Fibonacci
Chaque terme est la somme des deux précédents : F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), en commençant par 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Léonard de Pise (Fibonacci) l'a utilisée dans le Liber Abaci (1202) pour modéliser une population de lapins, bien que ces nombres figurent déjà dans des écrits indiens sur la métrique poétique. Certains ouvrages commencent la suite par F(1) = F(2) = 1 et omettent F(0) ; les valeurs sont les mêmes, seuls les rangs diffèrent.
Quelques identités à connaître : la somme des termes vaut F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1) ; un terme sur trois est pair ; F(m) divise F(n) dès que m divise n ; et l'identité de Cassini affirme que F(n − 1) · F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.
La formule de Binet et ses limites
La formule de Binet donne directement F(n) : F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, avec φ = (1 + √5) ÷ 2 et ψ = (1 − √5) ÷ 2. Comme ψ vaut environ −0,618, ψⁿ tend vers 0 et F(n) est simplement φⁿ ÷ √5 arrondi à l'entier le plus proche. Pour n = 10, φ10 ≈ 122,9919, ψ10 ≈ 0,0081, et (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.
Pourquoi ce calculateur n'utilise pas simplement Binet
Une calculatrice ou un tableur ordinaire stocke environ 16 chiffres significatifs. En arithmétique à double précision, la formule de Binet se trompe pour la première fois à n = 71, donnant 308 061 521 170 130 au lieu de la valeur exacte F(71) = 308 061 521 170 129, et l'erreur s'accroît ensuite. Cet outil calcule les termes avec une arithmétique exacte sur les entiers (les identités de doublement F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) et F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) et ne présente Binet que comme une comparaison.
Le nombre d'or
Divisez chaque terme par le précédent et les réponses se rapprochent de φ = 1,6180339887…, le nombre d'or. Elles oscillent autour de lui — 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615… — et chaque rapport est plus proche que le précédent. Après 20 termes, F(21) ÷ F(20) = 10 946 ÷ 6 765 concorde avec φ à 7 décimales ; F(41) ÷ F(40) concorde à 16 décimales ; F(101) ÷ F(100) concorde sur les 30 décimales affichées par le calculateur. La raison est la même que pour Binet : F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.
Exemple détaillé : F(100)
F(100) = 354 224 848 179 261 915 075 (21 chiffres) Chiffres selon la formule : ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21 F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…
Questions fréquentes
- Quel est le 100e nombre de Fibonacci ?
- F(100) = 354 224 848 179 261 915 075, un nombre de 21 chiffres. Ce résultat suit la convention F(0) = 0 et F(1) = 1. Si votre source numérote la suite à partir de 1, 1, 2, 3, …, son 100e terme est aussi F(100) ; seules les sources qui suppriment le 1 initial décalent le rang d'une unité.
- Comment trouver le n-ième nombre de Fibonacci sans lister tous les termes ?
- Utilisez la formule de Binet pour les petites valeurs de n, ou le doublement rapide pour des résultats exacts : il construit F(n) à partir de F(n ÷ 2) et F(n ÷ 2 + 1) avec quelques multiplications, si bien que même F(100 000) ne demande qu'environ 17 doublements. Additionner terme après terme fonctionne aussi, mais demande n étapes.
- La suite de Fibonacci commence-t-elle à 0 ou à 1 ?
- Les deux conventions existent. Les mathématiques commencent en général par F(0) = 0, F(1) = 1 (ce calculateur). De nombreux manuels et jeux commencent par 1, 1. Les termes après le début sont identiques : vérifiez l'indice qu'utilise votre énoncé avant de comparer les réponses.
- Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or ?
- Le rapport de termes consécutifs F(n + 1) ÷ F(n) tend vers φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Réciproquement, φⁿ ÷ √5 est à moins de 0,5 de F(n), ce qui est la formule de Binet. Le tableau de l'outil montre la convergence des rapports.
- Pourquoi la formule de Binet donne-t-elle un entier ?
- Les parties irrationnelles s'annulent exactement : φⁿ et ψⁿ sont conjugués, si bien que leur différence est un multiple de √5. En arithmétique à virgule flottante, cependant, φⁿ est arrondi, et à partir de n = 71 environ l'erreur d'arrondi dépasse 0,5 et la réponse est fausse d'une unité ou plus.
- Combien de chiffres compte F(n) ?
- Environ 0,2090 × n chiffres : précisément ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 pour n ≥ 2. Ainsi F(1000) compte 209 chiffres et F(100 000) en compte 20 899.
- D'autres nombres suivent-ils la même règle ?
- Oui. Toute paire de valeurs de départ suivie de la règle « additionner les deux précédents » forme une suite de type Fibonacci ; partir de 2 et 1 donne les nombres de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Les rapports de toutes ces suites tendent aussi vers φ. Essayez votre propre suite dans le Number Sequence Solver.