Công Cụ Tính Số Fibonacci
Nhập n để nhận số Fibonacci thứ n dưới dạng số nguyên chính xác — ngay cả F(100000), có 20.899 chữ số. Bên cạnh giá trị, bạn nhận được công thức dạng đóng của Binet được kiểm tra với đáp số chính xác, tỉ số của các số hạng liên tiếp hội tụ về tỉ lệ vàng, và một bảng cho bất kỳ dãy số hạng nào bạn chọn. Miễn phí, không cần đăng ký — công cụ chạy ngay trong trình duyệt.
Một số nguyên từ 0 đến 100.000. F(0) = 0, F(1) = 1.
Kết Quả
354224848179261915075
F(100)
21
Chữ số
Công thức Binet
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, với φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 và ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Vì |ψ| < 1 nên số hạng thứ hai dần biến mất, do đó F(n) đơn giản là φⁿ ÷ √5 làm tròn đến số nguyên gần nhất.
φ^100 ≈ 7,920708398E20
ψ^100 ≈ 1,262513338E-21
φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20
(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, làm tròn trong số học dấu phẩy động độ chính xác kép = 354224848179263111168
Giá trị này khác với F(100) = 354224848179261915075 chính xác. Số dấu phẩy động độ chính xác kép giữ khoảng 16 chữ số có nghĩa, nên công thức Binet trong dấu phẩy động thông thường lệch khỏi giá trị thật từ khoảng n = 70. Các con số chính xác ở đây dùng số học số nguyên.
Tỉ số của các số hạng liên tiếp
F(n + 1) ÷ F(n) tiến đến tỉ lệ vàng φ khi n lớn dần, xen kẽ lớn hơn và nhỏ hơn φ.
φ = 1.618033988749894848204586834365…
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…
Các giá trị này khớp với φ ở 30 chữ số thập phân đầu tiên.
Dãy số
Tối đa 100 số hạng.
| n | F(n) | F(n + 1) ÷ F(n), làm tròn 10 chữ số |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 1 | 1.0000000000 |
| 2 | 1 | 2.0000000000 |
| 3 | 2 | 1.5000000000 |
| 4 | 3 | 1.6666666666 |
| 5 | 5 | 1.6000000000 |
| 6 | 8 | 1.6250000000 |
| 7 | 13 | 1.6153846153 |
| 8 | 21 | 1.6190476190 |
| 9 | 34 | 1.6176470588 |
| 10 | 55 | 1.6181818181 |
| 11 | 89 | 1.6179775280 |
| 12 | 144 | 1.6180555555 |
| 13 | 233 | 1.6180257510 |
| 14 | 377 | 1.6180371352 |
| 15 | 610 | 1.6180327868 |
| 16 | 987 | 1.6180344478 |
| 17 | 1597 | 1.6180338134 |
| 18 | 2584 | 1.6180340557 |
| 19 | 4181 | 1.6180339631 |
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Số Fibonacci
- 1. Nhập n. Bất kỳ số nguyên nào từ 0 đến 100000. Công cụ dùng cách đánh số F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
- 2. Đọc F(n). Giá trị hiện cùng số chữ số của nó. Khi quá 40 chữ số, thẻ hiển thị chữ số đầu và cuối, còn Sao chép mọi chữ số sao chép tất cả.
- 3. So sánh các công thức. Phần Binet hiển thị φⁿ, ψⁿ và kết quả làm tròn bên cạnh số hạng chính xác, để bạn thấy chỗ số học dấu phẩy động không còn đáng tin. Phần tỉ số hiển thị F(n + 1) ÷ F(n) đến 30 chữ số thập phân bên cạnh φ.
- 4. Liệt kê số hạng. Trong Dãy số, chọn số hạng bắt đầu và số lượng muốn hiển thị (tối đa 100) để có một bảng F(n) cùng mỗi tỉ số F(n + 1) ÷ F(n).
Dãy Fibonacci Là Gì
Mỗi số hạng là tổng của hai số đứng trước nó: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), bắt đầu 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo ở Pisa (Fibonacci) đã dùng nó trong Liber Abaci (1202) để mô hình hóa một quần thể thỏ, mặc dù các con số này đã xuất hiện trong văn bản Ấn Độ về vận luật thơ ca. Một số sách bắt đầu dãy ở F(1) = F(2) = 1 và bỏ F(0); các giá trị giống nhau, chỉ khác số thứ tự vị trí.
Một vài đồng nhất thức đáng biết: tổng các số hạng là F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); cứ ba số hạng thì có một số chẵn; F(m) chia hết F(n) bất cứ khi nào m chia hết n; và đồng nhất thức Cassini cho F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.
Công Thức Binet Và Giới Hạn Của Nó
Công thức Binet cho F(n) trực tiếp: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, với φ = (1 + √5) ÷ 2 và ψ = (1 − √5) ÷ 2. Vì ψ khoảng −0,618 nên ψⁿ tiến dần về 0, và F(n) đơn giản là φⁿ ÷ √5 làm tròn đến số nguyên gần nhất. Với n = 10, φ10 ≈ 122,9919, ψ10 ≈ 0,0081, và (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.
Vì sao công cụ này không chỉ dùng Binet
Một máy tính hay bảng tính thông thường lưu khoảng 16 chữ số có nghĩa. Trong số học dấu phẩy động độ chính xác kép, công thức Binet lần đầu sai ở n = 71, cho ra 308061521170130 thay vì F(71) = 308061521170129, và sai số tăng dần từ đó. Công cụ này tính các số hạng bằng số học số nguyên chính xác (các đồng nhất thức nhân đôi nhanh F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) và F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) và chỉ dùng Binet như một phép so sánh.
Tỉ Lệ Vàng
Chia mỗi số hạng cho số đứng trước nó và các đáp số tiến dần đến φ = 1,6180339887…, tỉ lệ vàng. Chúng dao động quanh giá trị đó — 2; 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615… — và mỗi tỉ số gần hơn tỉ số trước. Sau 20 số hạng, F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 khớp với φ đến 7 chữ số thập phân; F(41) ÷ F(40) khớp đến 16; F(101) ÷ F(100) khớp đến cả 30 chữ số công cụ hiển thị. Lý do giống như với Binet: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.
Ví dụ minh họa: F(100)
F(100) = 354224848179261915075 (21 chữ số) Số chữ số theo công thức: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21 F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…
Câu Hỏi Thường Gặp
- Số Fibonacci thứ 100 là bao nhiêu?
- F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, một số 21 chữ số. Điều này dùng quy ước F(0) = 0 và F(1) = 1. Nếu nguồn của bạn đánh số dãy từ 1, 1, 2, 3, …, thì số hạng thứ 100 của nó cũng là F(100); chỉ những nguồn bỏ số 1 đầu tiên mới lệch vị trí đi một.
- Làm sao tìm số Fibonacci thứ n mà không liệt kê mọi số hạng?
- Dùng công thức Binet cho n nhỏ, hoặc nhân đôi nhanh để có kết quả chính xác: nó xây dựng F(n) từ F(n ÷ 2) và F(n ÷ 2 + 1) chỉ với vài phép nhân, nên ngay cả F(100000) cũng chỉ cần khoảng 17 lần nhân đôi. Cộng từng số hạng một cũng được, nhưng cần n bước.
- Dãy Fibonacci bắt đầu từ 0 hay 1?
- Cả hai quy ước đều được dùng. Toán học thường bắt đầu với F(0) = 0, F(1) = 1 (công cụ này). Nhiều sách giáo khoa và câu đố bắt đầu với 1, 1. Các số hạng sau điểm bắt đầu là giống nhau, nên hãy kiểm tra bài toán của bạn dùng chỉ số nào trước khi so sánh đáp án.
- Tỉ lệ vàng liên hệ với dãy Fibonacci như thế nào?
- Tỉ số của các số hạng liên tiếp F(n + 1) ÷ F(n) tiến đến φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Ngược lại, φⁿ ÷ √5 cách F(n) không quá 0,5, đó chính là công thức Binet. Bảng trong công cụ cho thấy các tỉ số đang hội tụ.
- Vì sao công thức Binet cho ra số nguyên?
- Các phần vô tỉ triệt tiêu chính xác: φⁿ và ψⁿ là các số liên hợp, nên hiệu của chúng là bội của √5. Tuy nhiên, trong số học dấu phẩy động, φⁿ bị làm tròn, và từ khoảng n = 71 sai số làm tròn vượt quá 0,5 và đáp số lệch đi một hoặc nhiều đơn vị.
- F(n) có bao nhiêu chữ số?
- Khoảng 0,2090 × n chữ số: chính xác là ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 với n ≥ 2. Vì vậy F(1000) có 209 chữ số và F(100000) có 20.899 chữ số.
- Có số nào khác tuân theo cùng quy tắc không?
- Có. Bất kỳ hai giá trị khởi đầu nào và quy tắc “cộng hai số trước đó” đều tạo ra một dãy giống Fibonacci; bắt đầu từ 2 và 1 cho ra các số Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Tỉ số của mọi dãy như vậy cũng tiến đến φ. Hãy thử một dãy của riêng bạn trong Number Sequence Solver.