Công Cụ Tính Cấp Số Nhân
Nhập số hạng đầu và công bội để có bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân, tổng n số hạng đầu, và — khi công bội nằm giữa −1 và 1 — tổng của toàn bộ chuỗi vô hạn. Hoặc cho hai số hạng bạn biết, và công cụ sẽ tính ngược ra a₁ và r. Kết quả là phân số chính xác, và mỗi công thức được hiển thị với các số của bạn đã thay vào. Miễn phí, không cần đăng ký.
Nhân với số này mỗi lần. Số âm làm các dấu xen kẽ nhau.
Một số nguyên từ 1 đến 2000.
Kết quả
1536
Số hạng a₁₀
3069
Tổng S₁₀ của 10 số hạng đầu
Không có tổng hữu hạn
Tổng của mọi số hạng, S∞
2
Công bội
3
Số hạng đầu
|r| lớn hơn 1, nên các số hạng tăng không giới hạn.
Công thức tổng quát
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Các bước
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
Chuỗi vô hạn chỉ hội tụ khi |r| < 1. Với |r| từ 1 trở lên, các số hạng không giảm, nên tổng không có giá trị hữu hạn.
Dãy số
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Cấp Số Nhân
- 1. Chọn những gì bạn biết. Số hạng đầu và công bội là trường hợp thường gặp. Hai số hạng của dãy xử lý các câu hỏi như 'số hạng thứ 2 là 6 và số hạng thứ 5 là 162'. Tìm vị trí của một giá trị cho bạn biết số hạng nào bằng một số.
- 2. Nhập giá trị. Số nguyên, số thập phân và phân số như 1/2 đều dùng được. Công bội có thể là số âm hoặc phân số. Số thứ tự của số hạng chạy từ 1 đến 2.000.
- 3. Đọc các thẻ. Bạn nhận được số hạng aₙ, tổng Sₙ, tổng đến vô cực — hoặc Không có tổng hữu hạn khi |r| ≥ 1 — công bội và số hạng đầu. Giá trị có hơn 40 chữ số được hiển thị dưới dạng ký hiệu khoa học.
- 4. Làm theo cách tính. Các công thức được viết ra với các số của bạn, theo sau là vài số hạng đầu.
Các Công Thức
Cấp số nhân nhân với cùng một công bội r để đi từ mỗi số hạng sang số hạng kế tiếp: a₁, a₁r, a₁r², …. Vì vậy số hạng thứ n và tổng n số hạng đầu là:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (chỉ khi |r| < 1)
Công thức tổng đến từ việc lấy Sₙ trừ đi r·Sₙ: hầu hết các số hạng triệt tiêu, còn lại Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Khi |r| < 1, rⁿ tiến về 0 khi n tăng, nên các tổng riêng tiến đến a₁ ÷ (1 − r). Khi |r| ≥ 1, chúng không hội tụ, và chuỗi vô hạn không có tổng hữu hạn.
Ví Dụ Minh Họa
- Số hạng và tổng. Với 3, 6, 12, … có a₁ = 3 và r = 2. Số hạng thứ 10 là 3 × 2⁹ = 1.536 và tổng 10 số hạng đầu là 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3.069.
- Từ hai số hạng. Nếu a₂ = 6 và a₅ = 162, thì r³ = 162 ÷ 6 = 27, nên r = 3. Khi đó a₁ = 6 ÷ 3 = 2, và dãy là 2, 6, 18, 54, 162, …. Khi hai số hạng cách nhau một số bước chẵn, chẳng hạn r² = 4, sẽ có hai đáp số thực (2 và −2), và công cụ hiển thị cả hai.
- Tổng vô hạn. Với 8, −8/3, 8/9, … có a₁ = 8 và r = −1/3, nên S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. Cùng công thức cho thấy vì sao 0,999… = 1: đó là 0,9 + 0,09 + 0,009 + … với a₁ = 0,9 và r = 0,1, nên S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- Bàn cờ. Một hạt thóc ở ô đầu tiên, nhân đôi qua 64 ô: a₁ = 1, r = 2, n = 64, nên S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 hạt.
| Công bội r | Dãy làm gì | Tổng vô hạn |
|---|---|---|
| r > 1 | Tăng không giới hạn | Không có |
| r = 1 | Không đổi | Không có (trừ khi a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Giảm về 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Đổi dấu xen kẽ và giảm dần | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Xen kẽ giữa a₁ và −a₁ | Không có |
| r < −1 | Xen kẽ và tăng dần | Không có |
Câu Hỏi Thường Gặp
- Công thức số hạng thứ n của cấp số nhân là gì?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), trong đó a₁ là số hạng đầu và r là công bội. Với 5, 10, 20, … ta có aₙ = 5 · 2^(n − 1), nên số hạng thứ 8 là 5 × 128 = 640.
- Làm sao tìm công bội?
- Chia một số hạng bất kỳ cho số hạng ngay trước nó. Với 4, 12, 36, 108, mỗi phép chia đều cho 3. Nếu bạn chỉ biết hai số hạng không kề nhau, hãy lấy căn bậc k của thương của chúng, với k là số bước giữa chúng: với a₂ = 6 và a₅ = 162, r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Khi nào một chuỗi cấp số nhân vô hạn có tổng?
- Chính xác khi |r| < 1 — công bội nằm giữa −1 và 1, không kể hai đầu mút. Khi đó S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Với 1 + 1/2 + 1/4 + … thì là 1 ÷ (1/2) = 2. Nếu |r| ≥ 1, các số hạng không giảm và tổng không có giá trị hữu hạn.
- Cấp số cộng và cấp số nhân khác nhau thế nào?
- Cấp số cộng cộng thêm một hằng số (2, 5, 8, 11); cấp số nhân nhân với một hằng số (2, 6, 18, 54). Ở cấp số cộng, hiệu không đổi; ở cấp số nhân, thương không đổi. Number Sequence Solver kiểm tra cả hai cho bạn.
- Công bội có thể là số âm hoặc phân số không?
- Có. Công bội âm làm các dấu xen kẽ nhau (3, −6, 12, −24), và phân số nằm giữa −1 và 1 làm các số hạng giảm dần (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Công bội bằng 0 được chấp nhận ở đây, nhưng khi đó mọi số hạng sau số hạng đầu đều bằng 0.
- Công thức tổng cho ra gì khi r = 1?
- Công thức a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) sẽ chia cho 0, nên hãy dùng Sₙ = n · a₁ thay thế: mọi số hạng bằng a₁, và có n số hạng. Công cụ tự động chuyển sang dạng này.
- Cấp số nhân xuất hiện ở đâu trong đời sống?
- Lãi kép là cấp số nhân: 1.000 với lãi suất 5% mỗi năm có giá trị 1.000 · 1,05ⁿ sau n năm. Tăng trưởng dân số, khấu hao, phân rã phóng xạ và độ cao nảy của quả bóng đều theo cùng một mẫu với công bội lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.