等比数列計算ツール
初項と公比を入力すると、等比数列の任意の項、最初のn項の和、そして公比が −1 と 1 の間にあるときは無限級数全体の和が得られます。既知の2つの項から a₁ と r を逆算することもできます。答えは正確な分数で、各公式は数値を代入した形で示されます。無料で、登録は不要です。
毎回これを掛けます。負の数にすると符号が交互に変わります。
1から2000までの整数。
結果
1536
項 a₁₀
3069
最初の10項の和 S₁₀
有限の和はなし
全項の和 S∞
2
公比
3
初項
|r| は1より大きいので、項は限りなく大きくなります。
一般項の公式
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
計算過程
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
無限級数は |r| < 1 のときだけ収束します。|r| が1以上では項が小さくならないため、和は有限の値を持ちません。
数列
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
等比数列計算ツールの使い方
- 1. 既知の情報を選びます。 初項と公比 が通常のケースです。数列の2つの項 は「2番目の項が6、5番目の項が162」のような問題に対応します。値の位置を探す は、どの項がその数に等しいかを教えます。
- 2. 値を入力します。 整数、小数、1/2 のような分数はすべて使えます。公比は負の数や分数でもかまいません。項番号は1から2000までです。
- 3. カードを読み取ります。 項 aₙ、和 Sₙ、無限和（|r| ≥ 1 の場合は 有限の和はなし）、公比、初項が得られます。40桁を超える値は指数表記で表示されます。
- 4. 計算過程を確認します。 公式が数値を代入して書き出され、その後に最初のいくつかの項が続きます。
公式
等比数列では、各項から次の項へ、同じ公比 r を掛けて進みます：a₁、a₁r、a₁r²、…。したがって、n番目の項と最初のn項の和は次のとおりです：
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (|r| < 1 のときだけ)
和の公式は、Sₙ から r·Sₙ を引くことで導かれます。ほとんどの項が打ち消し合い、Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ) が残ります。|r| < 1 のとき、n が大きくなると rⁿ は0に近づくので、部分和は a₁ ÷ (1 − r) に落ち着きます。|r| ≥ 1 の場合は落ち着かないので、無限級数には有限の和がありません。
具体例
- 項と和。 3, 6, 12, … では a₁ = 3、r = 2 です。10番目の項は 3 × 2⁹ = 1536、最初の10項の和は 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069 です。
- 2つの項から。 a₂ = 6 かつ a₅ = 162 なら、r³ = 162 ÷ 6 = 27 なので r = 3 です。すると a₁ = 6 ÷ 3 = 2 となり、数列は 2, 6, 18, 54, 162, … になります。2つの項の間が偶数ステップ離れている場合（たとえば r² = 4）、実数解は2つ（2 と −2）になり、ツールは両方を表示します。
- 無限和。 8, −8/3, 8/9, … では a₁ = 8、r = −1/3 なので、S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6 です。同じ公式から 0.999… = 1 も分かります。0.9 + 0.09 + 0.009 + … で、a₁ = 0.9、r = 0.1 なので、S∞ = 0.9 ÷ 0.9 = 1 です。
- チェス盤。 1つ目のマスに1粒、以後マスごとに2倍にして、64マスまで置くとします。a₁ = 1、r = 2、n = 64 なので、S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18446744073709551615 粒です。
| 公比 r | 数列の動き | 無限和 |
|---|---|---|
| r > 1 | 限りなく大きくなる | なし |
| r = 1 | 一定 | なし（a₁ = 0 の場合を除く） |
| 0 < r < 1 | 0に向かって縮む | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | 符号が交互に変わりながら縮む | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | a₁ と −a₁ の間を交互に行き来する | なし |
| r < −1 | 符号が交互に変わりながら大きくなる | なし |
よくある質問
- 等比数列のn番目の項の公式は何ですか？
- aₙ = a₁ · r^(n − 1) です。ここで a₁ は初項、r は公比です。5, 10, 20, … なら aₙ = 5 · 2^(n − 1) となり、8番目の項は 5 × 128 = 640 です。
- 公比はどう求めますか？
- 任意の項を、その1つ前の項で割ります。4, 12, 36, 108 では、どの割り算も3になります。隣り合わない2つの項しか分からない場合は、その商のk乗根を取ります。k は2つの項の間のステップ数です。a₂ = 6 かつ a₅ = 162 なら、r = ∛(162 ÷ 6) = 3 です。
- 無限等比級数はいつ和を持ちますか？
- |r| < 1 のとき、つまり公比が −1 と 1 の間にあるとき（両端は含まない）に限ります。このとき S∞ = a₁ ÷ (1 − r) です。1 + 1/2 + 1/4 + … なら 1 ÷ (1/2) = 2 です。|r| ≥ 1 の場合は項が小さくならず、有限の和は存在しません。
- 等差数列と等比数列の違いは何ですか？
- 等差数列は定数を足します（2, 5, 8, 11）。等比数列は定数を掛けます（2, 6, 18, 54）。前者では差が一定で、後者では比が一定です。Number Sequence Solver で、両方を判定することもできます。
- 公比は負や分数でもかまいませんか？
- はい。負の公比は符号を交互に変え（3, −6, 12, −24）、−1 と 1 の間の分数は項を縮めます（81, 27, 9, 3, 1, 1/3）。公比0も許されますが、その場合は初項の後のすべての項が0になります。
- r = 1 のとき、和の公式はどうなりますか？
- 公式 a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) はゼロ除算になるので、代わりに Sₙ = n · a₁ を使います。すべての項が a₁ に等しく、項はn個あります。ツールは自動的にこの形に切り替えます。
- 等比数列は実生活のどこに現れますか？
- 複利は等比的です。1000を年5%で運用すると、n年後には 1000 · 1.05ⁿ になります。人口増加、減価償却、放射性崩壊、ボールの跳ね返りの高さも、1より大きいまたは小さい公比で同じパターンに従います。