Calculadora de sucesiones geométricas
Escribe el primer término y la razón común para obtener cualquier término de una sucesión geométrica, la suma de los primeros n términos y, cuando la razón está entre −1 y 1, la suma de toda la serie infinita. O bien da dos términos que conozcas y la calculadora obtiene a₁ y r. Los resultados son fracciones exactas, y cada fórmula se muestra con tus números sustituidos. Gratis, sin registro.
Multiplica por este valor cada vez. Si es negativo, los signos alternan.
Un número entero de 1 a 2000.
Resultados
1536
Término a₁₀
3069
Suma S₁₀ de los primeros 10 términos
Sin suma finita
Suma de todos los términos, S∞
2
Razón común
3
Primer término
|r| es mayor que 1, así que los términos crecen sin límite.
Fórmula general
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Cálculo
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
La serie infinita converge solo cuando |r| < 1. Con |r| de 1 o más, los términos no se reducen, así que la suma no tiene un valor finito.
La sucesión
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Cómo usar la calculadora de sucesiones geométricas
- 1. Elige lo que conoces. Primer término y razón común es el caso habitual. Dos términos de la sucesión sirve para preguntas como «el segundo término es 6 y el quinto es 162». Buscar dónde está un valor te dice qué término es igual a un número.
- 2. Escribe los valores. Funcionan números enteros, decimales y fracciones como 1/2. La razón puede ser negativa o una fracción. Los números de término van de 1 a 2000.
- 3. Lee las tarjetas. Obtienes el término aₙ, la suma Sₙ, la suma hasta el infinito —o Sin suma finita cuando |r| ≥ 1—, la razón y el primer término. Los valores de más de 40 cifras se muestran en notación científica.
- 4. Sigue el cálculo. Las fórmulas se escriben con tus números, seguidas de los primeros términos.
Las fórmulas
Una sucesión geométrica multiplica por la misma razón común r para pasar de cada término al siguiente: a₁, a₁r, a₁r², …. Así, el término n-ésimo y la suma de los primeros n términos son:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (solo cuando |r| < 1)
La fórmula de la suma se obtiene restando r·Sₙ de Sₙ: casi todos los términos se cancelan, y queda Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Cuando |r| < 1, rⁿ se acerca a 0 a medida que n crece, así que las sumas parciales se estabilizan en a₁ ÷ (1 − r). Cuando |r| ≥ 1 no se estabilizan, y la serie infinita no tiene suma finita.
Ejemplos desarrollados
- Término y suma. Para 3, 6, 12, … a₁ = 3 y r = 2. El décimo término es 3 × 2⁹ = 1536 y la suma de los primeros 10 es 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- A partir de dos términos. Si a₂ = 6 y a₅ = 162, entonces r³ = 162 ÷ 6 = 27, así que r = 3. Luego a₁ = 6 ÷ 3 = 2, y la sucesión es 2, 6, 18, 54, 162, …. Cuando los dos términos están separados por un número par de pasos, por ejemplo r² = 4, hay dos respuestas reales (2 y −2), y la calculadora muestra ambas.
- Suma infinita. Para 8, −8/3, 8/9, … a₁ = 8 y r = −1/3, así que S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. La misma fórmula muestra por qué 0,999… = 1: es 0,9 + 0,09 + 0,009 + … con a₁ = 0,9 y r = 0,1, así que S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- El tablero de ajedrez. Un grano en la primera casilla, duplicándose en cada una de las 64 casillas: a₁ = 1, r = 2, n = 64, así que S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 granos.
| Razón r | Qué hace la sucesión | Suma infinita |
|---|---|---|
| r > 1 | Crece sin límite | Ninguna |
| r = 1 | Constante | Ninguna (salvo que a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Se acerca a 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Alterna el signo y se acerca a 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Alterna entre a₁ y −a₁ | Ninguna |
| r < −1 | Alterna y crece | Ninguna |
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la fórmula del término n de una sucesión geométrica?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), donde a₁ es el primer término y r es la razón común. Para 5, 10, 20, … da aₙ = 5 · 2^(n − 1), así que el octavo término es 5 × 128 = 640.
- ¿Cómo se halla la razón común?
- Divide cualquier término entre el anterior. En 4, 12, 36, 108, cada división da 3. Si solo conoces dos términos que no son vecinos, toma la raíz k-ésima de su cociente, donde k es el número de pasos entre ellos: con a₂ = 6 y a₅ = 162, r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- ¿Cuándo tiene suma una serie geométrica infinita?
- Exactamente cuando |r| < 1: la razón está entre −1 y 1, sin incluirlos. Entonces S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Para 1 + 1/2 + 1/4 + … eso es 1 ÷ (1/2) = 2. Si |r| ≥ 1, los términos no se reducen y la suma no tiene un valor finito.
- ¿Cuál es la diferencia entre sucesiones aritméticas y geométricas?
- Una sucesión aritmética suma una constante (2, 5, 8, 11); una geométrica multiplica por una constante (2, 6, 18, 54). En la primera las diferencias son constantes; en la segunda, las razones son constantes. El Solucionador de sucesiones numéricas comprueba ambas por ti.
- ¿La razón común puede ser negativa o una fracción?
- Sí. Una razón negativa hace que los signos alternen (3, −6, 12, −24), y una fracción entre −1 y 1 hace que los términos se reduzcan (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Aquí se admite una razón de 0, pero entonces todos los términos después del primero son 0.
- ¿Qué da la fórmula de la suma cuando r = 1?
- La fórmula a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) dividiría entre cero, así que usa en su lugar Sₙ = n · a₁: cada término es igual a a₁, y hay n de ellos. La calculadora cambia a esta forma automáticamente.
- ¿Dónde aparecen las sucesiones geométricas en la vida real?
- El interés compuesto es geométrico: 1000 al 5 % anual valen 1000 · 1,05ⁿ tras n años. El crecimiento de la población, la depreciación, la desintegración radiactiva y las alturas de rebote de una pelota siguen el mismo patrón, con una razón mayor o menor que 1.