Calculadora de factorización de polinomios
Introduce un polinomio y obtén su factorización completa sobre los enteros, con cada paso escrito: primero el factor común máximo; después la diferencia de cuadrados, los cuadrados perfectos, las sumas y diferencias de cubos, el método AC para ax² + bx + c, la agrupación o el teorema de las raíces racionales. Los factores se multiplican de nuevo como comprobación, y un polinomio que no se puede factorizar se llama primo. Gratis, sin registro.
Una sola letra, por ejemplo 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 o 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Las potencias se escriben con ^ o con superíndices.
Forma factorizada
(3x − 4)(2x + 3)
Factorización
Factorizado por completo
Estado
Paso a paso
Método AC: multiplica a × c = 6 × (−12) = −72. Busca dos números que multipliquen −72 y sumen b = 1: son −8 y 9.
Divide el término central con esos dos números.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Agrupa los términos de dos en dos y saca el factor común de cada pareja.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Ahora ambas parejas comparten un paréntesis; sácalo como factor común.
(3x − 4)(2x + 3)
Comprobación al desarrollar
Al multiplicar de nuevo los factores se obtiene 6x² + x − 12, el polinomio que introduciste.
Cómo usar la calculadora de factorización
- 1. Escribe el polinomio. Por ejemplo 6x^2 + x − 12 o x^3 + 8. Usa una sola letra; las potencias pueden escribirse con ^ o como superíndices, y los paréntesis se desarrollan primero.
- 2. Lee la forma factorizada. Aparece como un producto, con los factores repetidos escritos como potencias, y la calculadora indica si el polinomio es primo.
- 3. Sigue los pasos. Cada línea indica el método usado y muestra el polinomio antes y después, en el orden en que lo probaría un profesor.
- 4. Comprueba. Los factores se desarrollan y se comparan con lo que escribiste.
El orden en que conviene probar los métodos
| Busca | Patrón | Se factoriza como |
|---|---|---|
| Un factor común en todos los términos | ab + ac | a(b + c): siempre primero, incluido el signo menos si el término principal es negativo |
| Dos términos, ambos cuadrados perfectos y restados | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Dos términos, ambos cubos perfectos | A³ + B³ o A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) o (A − B)(A² + AB + B²) |
| Tres términos, primero y último cuadrados perfectos | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Tres términos, ax² + bx + c | Dos números con producto ac y suma b | El método AC, más abajo |
| Cuatro términos | Las parejas comparten un paréntesis | Factorizar por agrupación |
| Cualquier otro caso | Una raíz racional p/q | Divide entre (qx − p) y repite |
El método AC: 6x² + x − 12
- Multiplica a y c. 6 × (−12) = −72.
- Busca dos números que multipliquen −72 y sumen b = 1: son −8 y 9.
- Divide el término central. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Agrupa y factoriza cada pareja. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Saca el paréntesis común. (3x − 4)(2x + 3).
Cuando a = 1, el método se reduce al atajo de siempre: para x² + 5x + 6 busca dos números con producto 6 y suma 5 —2 y 3— y escribe (x + 2)(x + 3). Si no existe ningún par de enteros así, el discriminante b² − 4ac no es un cuadrado perfecto y la cuadrática es prima sobre los enteros.
Otros ejemplos resueltos
| Polinomio | Método | Forma factorizada |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | Factor común 3x, luego diferencia de cuadrados (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Diferencia de cubos (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Agrupación: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Raíz racional x = 1/2, luego la cuadrática | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Dos cuadráticas (identidad de Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
Qué significa «primo» aquí
Un polinomio es primo (o irreducible) sobre los enteros cuando no puede escribirse como producto de polinomios de menor grado con coeficientes enteros. x² + 4 y x² + x + 1 son primos. «Primo» depende del sistema numérico: x² − 2 es primo sobre los enteros, pero se factoriza como (x − √2)(x + √2) sobre los reales, y x² + 4 se factoriza como (x − 2i)(x + 2i) sobre los complejos. Esta calculadora factoriza sobre los racionales, lo que para polinomios de coeficientes enteros da el mismo resultado que factorizar sobre los enteros.
Límites
Las cuadráticas y las cúbicas siempre se factorizan por completo. Para grado 4 o superior, la calculadora usa patrones, agrupación, raíces racionales y una búsqueda de dos factores cuadráticos. Un factor que ninguno de estos métodos divide se indica como sobrante, con una nota, en lugar de llamarlo primo.
Errores comunes
- Saltarse el factor común. 2x² + 10x + 12 es más fácil como 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Saca siempre primero el factor común.
- Errores de signo en el paso AC. Si c es negativo, los dos números tienen signos opuestos; si c es positivo, tienen el mismo signo, el de b.
- Intentar factorizar una suma de cuadrados. x² + 9 es primo sobre los enteros; solo una diferencia de cuadrados se factoriza.
- Confundir las fórmulas de cubos. El signo central del segundo paréntesis es siempre el opuesto al signo del primero: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) y A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- Parar antes de tiempo. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) no está terminado: x² − 4 vuelve a factorizarse.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se factoriza un trinomio ax² + bx + c?
- Usa el método AC. Multiplica a y c, busca dos números que multipliquen ac y sumen b, divide el término central con ellos, factoriza cada pareja y saca el paréntesis común. Cuando a = 1, basta con dos números de producto c y suma b.
- ¿Cuál es la fórmula de la diferencia de cuadrados?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Se aplica cuando un binomio es un cuadrado perfecto menos otro cuadrado perfecto, como 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Una suma de cuadrados como x² + 25 no se factoriza sobre los enteros.
- ¿Cuáles son las fórmulas de la suma y la diferencia de cubos?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) y A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Para 27x³ − 1, A = 3x y B = 1, así que se factoriza como (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- ¿Cómo sé si un polinomio es primo?
- En una cuadrática, comprueba el discriminante b² − 4ac: si no es un cuadrado perfecto, no hay raíces racionales y la cuadrática es prima sobre los enteros. Una cúbica es prima cuando no tiene raíz racional. Para grados superiores no existe una prueba sencilla.
- ¿Qué es factorizar por agrupación?
- Con cuatro términos, sepáralos en dos parejas, saca el factor común máximo de cada una y, si los paréntesis coinciden, sácalo como factor común. x³ + 2x² + 3x + 6 se convierte en x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- ¿Por qué a veces el factor común es negativo?
- Cuando el coeficiente principal es negativo, la calculadora saca un factor común negativo, así que el polinomio dentro del paréntesis empieza con signo positivo. −2x² + 8 se convierte en −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Ambas convenciones son correctas; revisa cuál pide tu curso.
- ¿Puedo comprobar una factorización por mi cuenta?
- Sí: multiplica los factores. Si obtienes el polinomio original, la factorización es correcta. La calculadora lo hace por ti en la comprobación final.