Wie faktorisiert man ein Trinom ax² + bx + c?

Mit der AC-Methode. Multiplizieren Sie a und c, finden Sie zwei Zahlen, deren Produkt ac ergibt und deren Summe b ist, spalten Sie das mittlere Glied mit ihnen auf, faktorisieren Sie jedes Paar und klammern Sie die gemeinsame Klammer aus. Ist a = 1, brauchen Sie nur zwei Zahlen mit dem Produkt c und der Summe b.

Wie lautet die Formel für die Differenz der Quadrate?

A² − B² = (A − B)(A + B). Sie gilt, wenn ein Binom eine Quadratzahl minus eine Quadratzahl ist, etwa 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Eine Summe von Quadraten wie x² + 25 lässt sich über den ganzen Zahlen nicht zerlegen.

Wie lauten die Formeln für Summe und Differenz von Kubikzahlen?

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) und A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Für 27x³ − 1 ist A = 3x und B = 1, daher zerfällt es in (3x − 1)(9x² + 3x + 1).

Woran erkenne ich, ob ein Polynom prim ist?

Bei einem quadratischen Polynom prüfen Sie die Diskriminante b² − 4ac: Ist sie kein Quadrat, gibt es keine rationalen Nullstellen, und das Polynom ist über den ganzen Zahlen prim. Ein kubisches Polynom ist prim, wenn es keine rationale Nullstelle hat. Für höhere Grade gibt es keinen einfachen Test.

Was ist Faktorisieren durch Gruppieren?

Bei vier Gliedern bildet man zwei Paare und klammert aus jedem den größten gemeinsamen Faktor aus. Stimmen die Klammern überein, klammert man diese Klammer aus. x³ + 2x² + 3x + 6 wird zu x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).

Warum ist der gemeinsame Faktor manchmal negativ?

Ist der führende Koeffizient negativ, klammert der Rechner einen negativen gemeinsamen Faktor aus, sodass das Polynom in der Klammer mit einem positiven Glied beginnt. −2x² + 8 wird zu −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Beide Schreibweisen sind richtig; prüfen Sie, welche Ihr Kurs verlangt.

Kann ich eine Faktorisierung selbst prüfen?

Ja, multiplizieren Sie die Faktoren wieder aus. Erhalten Sie das ursprüngliche Polynom, ist die Faktorisierung richtig. Der Rechner macht das in der abschließenden Prüfung für Sie.

Faktorisierungsrechner

Geben Sie ein Polynom ein und erhalten Sie seine vollständige Faktorisierung über den ganzen Zahlen, mit jedem Schritt ausgeschrieben: zuerst der größte gemeinsame Faktor, dann Differenz der Quadrate, vollständige Quadrate, Summen und Differenzen von Kubikzahlen, die AC-Methode für ax² + bx + c, Gruppierung oder der Satz über rationale Nullstellen. Die Faktoren werden zur Kontrolle wieder ausmultipliziert, und ein Polynom, das sich nicht zerlegen lässt, heißt prim. Kostenlos, ohne Anmeldung.

Zu faktorisierendes Polynom

Eine Variable, zum Beispiel 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 oder 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Potenzen schreiben Sie mit ^ oder als Hochzahlen.

Beispiel ausprobieren

Faktorisierte Form

(3x − 4)(2x + 3)

Faktorisierung

Vollständig faktorisiert

Status

Schritt für Schritt

AC-Methode: Multiplizieren Sie a × c = 6 × (−12) = −72. Suchen Sie zwei Zahlen, die multipliziert −72 und addiert b = 1 ergeben: es sind −8 und 9.
Spalten Sie das mittlere Glied mit diesen beiden Zahlen auf.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Gruppieren Sie die Glieder paarweise und klammern Sie aus jedem Paar den gemeinsamen Faktor aus.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Beide Paare haben nun eine gemeinsame Klammer; klammern Sie sie aus.
(3x − 4)(2x + 3)

Prüfung durch Ausmultiplizieren

Das Ausmultiplizieren der Faktoren ergibt 6x² + x − 12, das eingegebene Polynom.

So verwenden Sie den Faktorisierungsrechner

1. Geben Sie das Polynom ein. Zum Beispiel 6x^2 + x − 12 oder x^3 + 8. Verwenden Sie einen Buchstaben als Variable; Potenzen können mit ^ oder als Hochzahlen geschrieben werden, und Klammern werden zuerst ausmultipliziert.
2. Lesen Sie die faktorisierte Form. Sie erscheint als Produkt, wiederholte Faktoren werden als Potenzen geschrieben, und der Rechner sagt, ob das Polynom prim ist.
3. Folgen Sie den Schritten. Jede Zeile nennt das verwendete Verfahren und zeigt das Polynom davor und danach, in der Reihenfolge, in der ein Lehrer sie ausprobieren würde.
4. Prüfen Sie das Ergebnis. Die Faktoren werden ausmultipliziert und mit Ihrer Eingabe verglichen.

Die Reihenfolge der Verfahren

Suchen Sie nach	Muster	Zerlegt in
Ein gemeinsamer Faktor in jedem Glied	ab + ac	a(b + c) — immer zuerst, einschließlich eines Minuszeichens, wenn das führende Glied negativ ist
Zwei Glieder, beide Quadratzahlen, subtrahiert	A² − B²	(A − B)(A + B)
Zwei Glieder, beide Kubikzahlen	A³ + B³ oder A³ − B³	(A + B)(A² − AB + B²) oder (A − B)(A² + AB + B²)
Drei Glieder, erstes und letztes eine Quadratzahl	A² ± 2AB + B²	(A ± B)²
Drei Glieder, ax² + bx + c	Zwei Zahlen mit dem Produkt ac und der Summe b	Die AC-Methode, unten
Vier Glieder	Paare haben eine gemeinsame Klammer	Faktorisieren durch Gruppieren
Alles andere	Eine rationale Nullstelle p/q	Abspalten von (qx − p) und wiederholen

Die AC-Methode: 6x² + x − 12

Multiplizieren Sie a und c. 6 × (−12) = −72.
Finden Sie zwei Zahlen, die multipliziert −72 und addiert b = 1 ergeben: es sind −8 und 9.
Spalten Sie das mittlere Glied auf. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
Gruppieren Sie und faktorisieren Sie jedes Paar. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
Klammern Sie die gemeinsame Klammer aus. (3x − 4)(2x + 3).

Ist a = 1, vereinfacht sich das Verfahren zur bekannten Kurzform: Für x² + 5x + 6 suchen Sie zwei Zahlen mit dem Produkt 6 und der Summe 5 – 2 und 3 – und schreiben (x + 2)(x + 3). Gibt es kein solches ganzzahliges Paar, ist die Diskriminante b² − 4ac kein Quadrat, und das quadratische Polynom ist über den ganzen Zahlen prim.

Weitere Beispiele

Polynom	Verfahren	Faktorisierte Form
12x³ − 27x	ggT 3x, dann Differenz der Quadrate (2x)² − 3²	3x(2x − 3)(2x + 3)
27x³ − 1	Differenz der Kubikzahlen (3x)³ − 1³	(3x − 1)(9x² + 3x + 1)
x³ + 2x² + 3x + 6	Gruppierung: x²(x + 2) + 3(x + 2)	(x + 2)(x² + 3)
2x³ − 3x² − 11x + 6	Rationale Nullstelle x = 1/2, dann das quadratische Polynom	(x − 3)(2x − 1)(x + 2)
x⁴ + 4	Zwei quadratische Faktoren (Sophie-Germain-Identität)	(x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)

Was „prim“ hier bedeutet

Ein Polynom ist prim (oder irreduzibel) über den ganzen Zahlen, wenn es sich nicht als Produkt von Polynomen niedrigeren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten schreiben lässt. x² + 4 und x² + x + 1 sind prim. Prim ist vom Zahlenbereich abhängig: x² − 2 ist über den ganzen Zahlen prim, zerfällt aber über den reellen Zahlen in (x − √2)(x + √2), und x² + 4 zerfällt über den komplexen Zahlen in (x − 2i)(x + 2i). Dieser Rechner faktorisiert über den rationalen Zahlen, was bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten dasselbe Ergebnis liefert wie die Faktorisierung über den ganzen Zahlen.

Grenzen

Quadratische und kubische Polynome werden stets vollständig faktorisiert. Ab Grad 4 verwendet der Rechner Muster, Gruppierung, rationale Nullstellen und die Suche nach zwei quadratischen Faktoren. Ein Faktor, den keines dieser Verfahren zerlegt, wird mit einem Hinweis als Rest ausgegeben und nicht als prim bezeichnet.

Häufige Fehler

Den ggT auslassen. 2x² + 10x + 12 ist einfacher als 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Klammern Sie immer zuerst den gemeinsamen Faktor aus.
Vorzeichenfehler im AC-Schritt. Ist c negativ, haben die beiden Zahlen unterschiedliche Vorzeichen; ist c positiv, haben sie dasselbe Vorzeichen – das von b.
Versuchen, eine Summe von Quadraten zu faktorisieren. x² + 9 ist über den ganzen Zahlen prim; nur eine Differenz von Quadraten lässt sich zerlegen.
Die Kubikformeln verwechseln. Das mittlere Vorzeichen der zweiten Klammer ist immer das Gegenteil des Vorzeichens der ersten: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) und A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
Vorzeitig aufhören. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) ist nicht fertig: x² − 4 lässt sich erneut zerlegen.

Häufig gestellte Fragen

Wie faktorisiert man ein Trinom ax² + bx + c?: Mit der AC-Methode. Multiplizieren Sie a und c, finden Sie zwei Zahlen, deren Produkt ac ergibt und deren Summe b ist, spalten Sie das mittlere Glied mit ihnen auf, faktorisieren Sie jedes Paar und klammern Sie die gemeinsame Klammer aus. Ist a = 1, brauchen Sie nur zwei Zahlen mit dem Produkt c und der Summe b.
Wie lautet die Formel für die Differenz der Quadrate?: A² − B² = (A − B)(A + B). Sie gilt, wenn ein Binom eine Quadratzahl minus eine Quadratzahl ist, etwa 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Eine Summe von Quadraten wie x² + 25 lässt sich über den ganzen Zahlen nicht zerlegen.
Wie lauten die Formeln für Summe und Differenz von Kubikzahlen?: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) und A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Für 27x³ − 1 ist A = 3x und B = 1, daher zerfällt es in (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
Woran erkenne ich, ob ein Polynom prim ist?: Bei einem quadratischen Polynom prüfen Sie die Diskriminante b² − 4ac: Ist sie kein Quadrat, gibt es keine rationalen Nullstellen, und das Polynom ist über den ganzen Zahlen prim. Ein kubisches Polynom ist prim, wenn es keine rationale Nullstelle hat. Für höhere Grade gibt es keinen einfachen Test.
Was ist Faktorisieren durch Gruppieren?: Bei vier Gliedern bildet man zwei Paare und klammert aus jedem den größten gemeinsamen Faktor aus. Stimmen die Klammern überein, klammert man diese Klammer aus. x³ + 2x² + 3x + 6 wird zu x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
Warum ist der gemeinsame Faktor manchmal negativ?: Ist der führende Koeffizient negativ, klammert der Rechner einen negativen gemeinsamen Faktor aus, sodass das Polynom in der Klammer mit einem positiven Glied beginnt. −2x² + 8 wird zu −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Beide Schreibweisen sind richtig; prüfen Sie, welche Ihr Kurs verlangt.
Kann ich eine Faktorisierung selbst prüfen?: Ja, multiplizieren Sie die Faktoren wieder aus. Erhalten Sie das ursprüngliche Polynom, ist die Faktorisierung richtig. Der Rechner macht das in der abschließenden Prüfung für Sie.