Rechner für komplexe Zahlen

Ergebnisse

Der Rechenweg

1. Zum Dividieren multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Divisors. Dann wird der Nenner eine reelle Zahl.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Der Nenner wird c² + d², und das ist reell.

   1² + (−2)² = 5

3. Multiplizieren Sie den Zähler aus.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Teilen Sie Real- und Imaginärteil durch den Nenner.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Komplexe Zahlenebene

So verwenden Sie den Rechner für komplexe Zahlen

1. 1. Wählen Sie, was Sie brauchen. Die Rechenarten arbeiten mit zwei Zahlen, z₁ und z₂. Die Polarform arbeitet mit z₁. Potenzen und Wurzeln nehmen z₁ und eine ganze Zahl n von 2 bis 24.
2. 2. Geben Sie die Zahlen ein. Schreiben Sie 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i oder sogar (1 + i)(2 − i). Verwenden Sie i oder, wenn Sie die technische Schreibweise gewohnt sind, j. Brüche und Dezimalzahlen werden exakt gelesen.
3. 3. Lesen Sie das Ergebnis. Summen, Produkte, Quotienten und ganzzahlige Potenzen sind exakte Brüche. Beträge, Argumente und Wurzeln werden, wo möglich, exakt angegeben, sonst als Näherungen mit vier Dezimalstellen.
4. 4. Folgen Sie dem Rechenweg und dem Diagramm. Jeder Schritt ist ausgeschrieben, und die Zahlen sind als Pfeile in der komplexen Zahlenebene gezeichnet.

Rechnen in der algebraischen Form

Die Multiplikation ist gewöhnliches Ausmultiplizieren mit einer zusätzlichen Tatsache, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Die Division verwendet die konjugiert komplexe Zahl, weil (c + di)(c − di) = c² + d² eine reelle Zahl ist. Für (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) wird der Nenner 1² + (−2)² = 5, und der Zähler wird (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, also ist der Quotient (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Betrag, Argument und Polarform

Der Betrag |z| = √(a² + b²) ist der Abstand vom Ursprung. Das Argument θ ist der Winkel zur positiven reellen Achse. Dieser Rechner gibt den Hauptwert an, mit −π < θ ≤ π, und passt den Wert an den Quadranten an: arctan(b/a) im ersten und vierten Quadranten, plus 180° im zweiten, minus 180° im dritten. Für z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Polarform:        5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Exponentialform:  5 × e^(i × 0,9273)

Auf einer Achse oder einer Diagonalen ist das Argument ein einfaches Vielfaches von π/4, und der Rechner schreibt es exakt: −1 + i hat den Betrag √2 und das Argument 3π/4. Null hat den Betrag 0, aber kein Argument, daher hat sie keine Polarform.

Potenzen und Wurzeln: Satz von De Moivre

Der Satz von De Moivre besagt, dass (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) gilt: Man potenziert den Betrag und multipliziert den Winkel. Zum Beispiel hat (1 + i)⁸ den Betrag (√2)⁸ = 16 und den Winkel 8 × 45° = 360°, also ist es genau 16. Der Rechner multipliziert die Potenz exakt aus und zeigt daneben die Rechnung nach De Moivre als Kontrolle.

Jede von null verschiedene Zahl hat genau n verschiedene n-te Wurzeln. Sie haben denselben Betrag r^(1/n) und die Winkel (θ + 360°k)/n für k = 0, 1, …, n − 1, liegen also in den Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit Mittelpunkt im Ursprung. Die dritten Wurzeln von −8, das den Betrag 8 und das Argument π hat, haben den Betrag 2 und die Winkel π/3, π und 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 und 1 − 1,7321i. Die Quadratwurzeln von 3 + 4i sind genau 2 + i und −2 − i.

Potenzen von i

Um iⁿ zu bestimmen, teilen Sie n durch 4 und verwenden Sie den Rest: i⁵⁷ = i¹ = i, weil 57 = 4 × 14 + 1.

Häufige Fehler

• i² = −1 beim Multiplizieren vergessen. Der bd-Term wechselt das Vorzeichen, also (ac − bd), nicht (ac + bd).
• Ohne konjugiert komplexe Zahl dividieren. Erst wenn Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multipliziert werden, verschwindet i aus dem Nenner.
• arctan(b/a) in jedem Quadranten verwenden. Der arctan eines Taschenrechners liefert nur −90° bis 90°, daher brauchen Zahlen im zweiten und dritten Quadranten ±180°.
• Nur eine Wurzel angeben. z^(1/n) hat n Werte; die Hauptwurzel ist nur k = 0.
• Grad und Bogenmaß innerhalb von cos und sin mischen. 53,13° und 0,9273 rad sind derselbe Winkel.

Häufig gestellte Fragen

Wie dividiert man komplexe Zahlen?

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Der neue Nenner ist c² + d², eine reelle Zahl, und Sie teilen Real- und Imaginärteil des neuen Zählers durch sie. Für (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) ist die Antwort −1 + 2i.

Was sind Betrag und Argument einer komplexen Zahl?

Der Betrag ist die Länge √(a² + b²), der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene. Das Argument ist der Winkel von der positiven reellen Achse zur Zahl, für den Hauptwert zwischen −180° und 180°. Zusammen ergeben sie die Polarform r(cos θ + i sin θ).

Was ist die Exponentialform einer komplexen Zahl?

Nach der eulerschen Formel gilt e^(iθ) = cos θ + i sin θ, sodass z = r(cos θ + i sin θ) als re^(iθ) geschrieben werden kann, mit θ im Bogenmaß. Für 3 + 4i ist das 5e^(0,9273i). Das macht die Multiplikation leicht: Multiplizieren Sie die Beträge und addieren Sie die Winkel.

Was besagt der Satz von De Moivre?

Er besagt, dass (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ gilt, und damit zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Er verwandelt Potenzen in eine Änderung von Betrag und Winkel, und mit einem gebrochenen Exponenten liefert er die n-ten Wurzeln.

Wie viele n-te Wurzeln hat eine komplexe Zahl?

Genau n, sofern die Zahl nicht null ist. Sie haben denselben Betrag und Winkel im Abstand von 360°/n, daher bilden sie ein regelmäßiges n-Eck. Eine reelle Zahl wie −8 hat drei dritte Wurzeln: eine reelle und zwei komplexe.

Was ist die konjugiert komplexe Zahl?

Die konjugiert komplexe Zahl von a + bi ist a − bi. Multipliziert man eine Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, erhält man die reelle Zahl a² + b², das Quadrat des Betrags. Konjugierte werden für die Division und zum Paaren der komplexen Wurzeln reeller Polynome verwendet.

Warum ist das Argument von 0 undefiniert?

Null ist der Ursprung, der in allen Richtungen zugleich liegt, daher beschreibt kein einzelner Winkel sie. Ihr Betrag ist 0, und der Rechner zeigt Ihnen an, wann eine Polarform oder Wurzel nicht verfügbar ist.