Công Cụ Tính Số Phức

Kết quả

Các bước tính

1. Để chia, nhân tử và mẫu với số liên hợp của số chia. Làm vậy, mẫu trở thành một số thực.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Mẫu trở thành c² + d², là một số thực.

   1² + (−2)² = 5

3. Khai triển tử.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Chia phần thực và phần ảo cho mẫu.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Mặt phẳng phức

Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Số Phức

1. 1. Chọn điều bạn cần. Số học làm việc với hai số, z₁ và z₂. Dạng cực làm việc với z₁. Lũy thừa và căn nhận z₁ và một số nguyên n từ 2 đến 24.
2. 2. Gõ các số. Viết 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i hoặc thậm chí (1 + i)(2 − i). Dùng i, hoặc j nếu bạn quen ký hiệu kỹ thuật. Phân số và số thập phân được đọc chính xác.
3. 3. Đọc kết quả. Tổng, tích, thương và lũy thừa nguyên là các phân số chính xác. Môđun, argument và căn được hiển thị dưới dạng chính xác khi có thể, và dưới dạng xấp xỉ bốn chữ số thập phân khi không.
4. 4. Theo dõi các bước và sơ đồ. Mỗi bước được viết ra, và các số được vẽ thành mũi tên trên mặt phẳng phức.

Số Học Trong Dạng Đại Số

Phép nhân là khai triển thông thường với một sự kiện thêm: i² = −1. Ví dụ (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Phép chia dùng số liên hợp, vì (c + di)(c − di) = c² + d² là một số thực. Với (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), mẫu trở thành 1² + (−2)² = 5 và tử trở thành (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, nên thương là (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Môđun, Argument Và Dạng Cực

Môđun |z| = √(a² + b²) là khoảng cách từ gốc tọa độ. Argument θ là góc tính từ tia thực dương. Công cụ này đưa ra giá trị chính, với −π < θ ≤ π, và điều chỉnh theo góc phần tư: arctan(b/a) ở góc thứ nhất và thứ tư, cộng 180° ở góc thứ hai, trừ 180° ở góc thứ ba. Với z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Dạng cực:         5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Dạng mũ:          5 × e^(i × 0,9273)

Trên một trục hoặc đường chéo, argument là một bội đơn giản của π/4, và công cụ viết nó dưới dạng chính xác: −1 + i có môđun √2 và argument 3π/4. Số 0 có môđun 0 nhưng không có argument, nên nó không có dạng cực.

Lũy Thừa Và Căn: Định Lý De Moivre

Định lý De Moivre nói rằng (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): nâng môđun lên lũy thừa và nhân góc với số đó. Ví dụ (1 + i)⁸ có môđun (√2)⁸ = 16 và góc 8 × 45° = 360°, nên nó bằng đúng 16. Công cụ khai triển lũy thừa một cách chính xác và hiển thị phép tính De Moivre bên cạnh như một bước kiểm tra.

Mỗi số khác 0 có đúng n căn bậc n phân biệt. Chúng có chung môđun r^(1/n) và các góc (θ + 360°k)/n với k = 0, 1, …, n − 1, nên chúng nằm ở các đỉnh của một đa giác đều có tâm tại gốc tọa độ. Các căn bậc ba của −8, có môđun 8 và argument π, có môđun 2 và các góc π/3, π và 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 và 1 − 1,7321i. Các căn bậc hai của 3 + 4i chính xác là 2 + i và −2 − i.

Lũy Thừa Của i

Để tìm iⁿ, chia n cho 4 và lấy số dư: i⁵⁷ = i¹ = i vì 57 = 4 × 14 + 1.

Những Lỗi Thường Gặp

• Quên i² = −1 khi nhân: số hạng bd đổi dấu, nên là (ac − bd), không phải (ac + bd).
• Chia mà không dùng số liên hợp. Nhân tử và mẫu với số liên hợp của mẫu là cách loại i khỏi mẫu số.
• Dùng arctan(b/a) ở mọi góc phần tư. Hàm arctan của máy tính chỉ trả về từ −90° đến 90°, nên các số ở góc thứ hai và thứ ba cần cộng hoặc trừ 180°.
• Chỉ nêu một căn. z^(1/n) có n giá trị; căn chính chỉ ứng với k = 0.
• Trộn lẫn độ và radian bên trong cos và sin. 53,13° và 0,9273 rad là cùng một góc.

Câu Hỏi Thường Gặp

Làm thế nào để chia số phức?

Nhân tử và mẫu với số liên hợp của mẫu. Mẫu mới là c² + d², một số thực, và bạn chia phần thực và phần ảo của tử mới cho nó. Với (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), kết quả là −1 + 2i.

Môđun và argument của số phức là gì?

Môđun là độ dài √(a² + b²), tức khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức. Argument là góc từ tia thực dương đến số đó, trong khoảng −180° đến 180° với giá trị chính. Cùng nhau, chúng cho dạng cực r(cos θ + i sin θ).

Dạng mũ của số phức là gì?

Theo công thức Euler, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, nên z = r(cos θ + i sin θ) có thể viết là re^(iθ), với θ tính bằng radian. Với 3 + 4i, đó là 5e^(0,9273i). Dạng này giúp phép nhân dễ dàng: nhân các môđun và cộng các góc.

Định lý De Moivre là gì?

Nó phát biểu rằng (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, và do đó zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Nó biến lũy thừa thành sự thay đổi môđun và góc, và với số mũ là phân số, nó cho các căn bậc n.

Một số phức có bao nhiêu căn bậc n?

Đúng n căn, nếu số đó khác 0. Chúng có cùng môđun và các góc cách nhau 360°/n, nên tạo thành một đa giác đều n cạnh. Một số thực như −8 có ba căn bậc ba: một căn thực và hai căn phức.

Số liên hợp của một số phức là gì?

Số liên hợp của a + bi là a − bi. Nhân một số với số liên hợp của nó cho ra số thực a² + b², là bình phương của môđun. Số liên hợp được dùng để chia và để ghép các căn phức của đa thức có hệ số thực.

Tại sao argument của 0 không xác định?

Số 0 là gốc tọa độ, nơi nằm theo mọi hướng cùng một lúc, nên không có góc đơn nào mô tả nó. Môđun của nó là 0, và công cụ cho bạn biết khi nào không có dạng cực hay căn nào khả dụng.