Karmaşık Sayı Hesaplayıcı

Sonuç

Çözüm adımları

1. Bölmek için üst ve alt kısmı bölenin eşleniğiyle çarpın. Bu, alt kısmı reel bir sayı yapar.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Alt kısım c² + d² olur; bu bir reel sayıdır.

   1² + (−2)² = 5

3. Üst kısmı açın.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Reel ve sanal kısımları alt kısma bölün.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Karmaşık düzlem

Karmaşık Sayı Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır

1. 1. Neye ihtiyacınız olduğunu seçin. Aritmetik, z₁ ve z₂ olmak üzere iki sayıyla çalışır. Kutupsal form z₁ ile çalışır. Kuvvetler ve kökler, z₁ ve 2 ile 24 arasında bir tam sayı n alır.
2. 2. Sayıları yazın. 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i veya hatta (1 + i)(2 − i) yazın. Sanal birim için i kullanın; mühendislik gösterimine alışkınsanız j de olur. Kesirler ve ondalık sayılar tam olarak okunur.
3. 3. Sonucu okuyun. Toplamlar, çarpımlar, bölümler ve tam sayı kuvvetleri tam kesirlerdir. Modüller, argümanlar ve kökler mümkün olduğunda tam olarak, değilse dört ondalık basamaklı yaklaşıklıklarla gösterilir.
4. 4. Adımları ve şekli izleyin. Her adım yazılmıştır ve sayılar karmaşık düzlemde ok olarak çizilir.

Dikdörtgen Biçimde Aritmetik

Çarpma, bir ekstra gerçekle birlikte olağan açılımdır: i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Bölme eşleniği kullanır, çünkü (c + di)(c − di) = c² + d² bir reel sayıdır. (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) için alt kısım 1² + (−2)² = 5 olur ve üst kısım (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i olur; bu nedenle bölüm (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i’dir.

Modül, Argüman ve Kutupsal Form

Modül |z| = √(a² + b²) orijine olan uzaklıktır. Argüman θ, pozitif reel eksenden olan açıdır. Bu hesaplayıcı temel değeri verir, −π < θ ≤ π aralığında, ve çeyreğe göre düzeltir: birinci ve dördüncü çeyrekte arctan(b/a), ikincide arctan(b/a) + 180°, üçüncüde arctan(b/a) − 180°. z = 3 + 4i için:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Kutupsal form:    5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Üstel form:       5 × e^(i × 0,9273)

Bir eksen veya köşegen üzerinde argüman π/4’ün basit bir katıdır ve hesaplayıcı bunu tam olarak yazar: −1 + i’nin modülü √2, argümanı 3π/4’tür. Sıfırın modülü 0’dır ama argümanı yoktur; bu yüzden kutupsal formu da yoktur.

Kuvvetler ve Kökler: De Moivre Teoremi

De Moivre teoremi, (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) olduğunu söyler: modülü kuvvete yükseltin ve açıyı bununla çarpın. Örneğin (1 + i)⁸’in modülü (√2)⁸ = 16 ve açısı 8 × 45° = 360°’dir; bu yüzden tam olarak 16’dır. Hesaplayıcı kuvveti tam olarak açar ve kontrol olarak yanında De Moivre hesabını gösterir.

Sıfırdan farklı her sayının tam olarak n tane farklı n-inci kökü vardır. Bunlar aynı modülü, r^(1/n), paylaşır ve açıları (θ + 360°k)/n’dir; k = 0, 1, …, n − 1. Bu nedenle orijin merkezli düzgün bir çokgenin köşelerinde dururlar. Modülü 8 ve argümanı π olan −8’in küp kökleri modülü 2 ve açıları π/3, π ve 5π/3 olan köklerdir: 1 + 1,7321i, −2 ve 1 − 1,7321i. 3 + 4i’nin karekökleri tam olarak 2 + i ve −2 − i’dir.

i’nin Kuvvetleri

iⁿ’yi bulmak için n’yi 4’e bölün ve kalanı kullanın: i⁵⁷ = i¹ = i, çünkü 57 = 4 × 14 + 1.

Sık Yapılan Hatalar

• Çarparken i² = −1’i unutmak. bd terimi işaret değiştirir; bu yüzden (ac − bd), (ac + bd) değil.
• Eşleniği kullanmadan bölmek. Alt kısmın eşleniğiyle üst ve alt kısmı çarpmak, paydadan i’yi kaldıran şeydir.
• Her çeyrekte arctan(b/a) almak. Bir hesaplayıcının arctan’ı yalnızca −90° ile 90° arasında değer döndürür; bu yüzden ikinci ve üçüncü çeyrekteki sayılar ±180° gerektirir.
• Yalnızca bir kök bildirmek. z^(1/n) n değere sahiptir; temel kök yalnızca k = 0’dır.
• Cos ve sin içinde derece ile radyanı karıştırmak. 53,13° ve 0,9273 rad aynı açıdır.

Sık sorulan sorular

Karmaşık sayılar nasıl bölünür?

Payı ve paydayı paydanın eşleniğiyle çarpın. Yeni payda c² + d²’dir, bir reel sayıdır ve yeni payın reel ve sanal kısımlarını buna bölersiniz. (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) için cevap −1 + 2i’dir.

Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı nedir?

Modül, karmaşık düzlemde orijine olan uzaklık olan √(a² + b²) uzunluğudur. Argüman, pozitif reel eksenden sayıya olan açıdır; temel değer için −180° ile 180° arasındadır. Birlikte r(cos θ + i sin θ) kutupsal formunu verirler.

Karmaşık bir sayının üstel formu nedir?

Euler formülüne göre e^(iθ) = cos θ + i sin θ’dır; bu yüzden z = r(cos θ + i sin θ) yazılabilir re^(iθ), θ radyan cinsinden. 3 + 4i için bu 5e^(0,9273i)’dir. Çarpmayı kolaylaştırır: modülleri çarpın ve açıları toplayın.

De Moivre teoremi nedir?

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ olduğunu ve böylece zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) olduğunu söyler. Kuvvetleri modül ve açı değişimine dönüştürür; kesirli bir üssle n-inci kökleri verir.

Bir karmaşık sayının kaç n-inci kökü vardır?

Sayı sıfır değilse tam olarak n tane. Aynı modüle sahiptirler ve açıları 360°/n aralıklarla dizilir; bu yüzden düzgün bir n kenarlı çokgen oluştururlar. −8 gibi bir reel sayının üç küp kökü vardır: biri reel, ikisi karmaşık.

Bir karmaşık sayının eşleniği nedir?

a + bi’nin eşleniği a − bi’dir. Bir sayıyı eşleniğiyle çarpmak a² + b² verir; bu, modülün karesi olan reel bir sayıdır. Eşlenikler bölme için ve reel polinomların karmaşık köklerini eşlemek için kullanılır.

Neden 0’ın argümanı tanımsızdır?

Sıfır orijindir; her yöndeymiş gibi görünür, bu yüzden tek bir açı onu tanımlamaz. Modülü 0’dır ve hesaplayıcı, bir kutupsal form veya kök mevcut olmadığında bunu size söyler.