Mesafe ve Orta Nokta Hesaplayıcı
Düzlemde ya da uzayda iki nokta girin; aralarındaki mesafeyi basit kök biçiminde (yanında ondalık karşılığıyla), orta noktalarını ve doğru parçasını herhangi bir m : n oranında bölen noktayı alın. Bir uç noktayı ve orta noktayı bildiğinizde diğer uç noktayı bulmak için kipleri değiştirin. İşlem adım adım yazılır; 2B'de doğru parçası ölçekli olarak çizilir. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Tam sayılar, ondalık sayılar ya da 3/4 gibi kesirler.
Sonuçlar
2√13 ≈ 7,211103
Mesafe
(1, 1)
Orta nokta
52
Mesafenin karesi
Çalışma
d = √(x, y boyutlarındaki karesel farkların toplamı)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Bölme formülü
(0, 5/3)
P₁P₂'yi içten 1 : 2 oranında bölen nokta
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Şema
Mesafe ve Orta Nokta Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. 2B ya da 3B'yi ve bir kip seçin. İlk kip iki nokta arasındaki ölçümü yapar; ikinci kip bir noktadan ve orta noktadan bir uç noktayı bulur.
- 2. Koordinatları girin. Tam sayılar, ondalık sayılar ve 1/2 gibi kesirler kesin tutulur; böylece √13 mesafesi asla 3,6055'e dönüşmez.
- 3. Mesafeyi ve orta noktayı okuyun. Mesafe, ondalık yaklaşımıyla birlikte basit kök biçimindedir; orta nokta kesir ya da ondalık sayı olarak gösterilir.
- 4. Bölme formülünü deneyin. m ve n'yi ayarlayın, doğru parçasını o oranda bölen noktayı bulmak için iç ya da dış bölmeyi seçin. 2B'de doğru parçası, orta nokta ve bölme noktası çizilir.
Formüller
| Nicelik | 2B | 3B |
|---|---|---|
| Mesafe | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Orta nokta | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| P₁P₂'yi m : n oranında içten bölen nokta | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | aynısı, her koordinata uygulanır |
| P₁P₂'yi m : n oranında dıştan bölen nokta | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | aynısı, her koordinata uygulanır |
| P₁ ve orta nokta M verildiğinde diğer uç nokta | P₂ = 2M − P₁ | aynısı, her koordinata uygulanır |
Mesafe formülü, noktalar arasındaki yatay ve dikey farklara uygulanan Pisagor teoremidir: bunlar, hipotenüsü doğru parçası olan bir dik üçgenin dik kenarlarıdır. 3B'de aynı fikir iki kez uygulanır. Orta nokta, her koordinatın basitçe ortalamasıdır ve 1 : 1 oranı için bölme noktasıdır.
Çalışılmış Örnekler
- Düzlemde mesafe ve orta nokta. P₁ = (−2, 3) ve P₂ = (4, −1) için farklar 6 ve −4'tür; dolayısıyla d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Orta nokta ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1)'dir.
- Bölme formülü. Aynı doğru parçasını 1 : 2 oranında içten bölen nokta ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3)'tür. P₁'den P₂'ye giden yolun üçte biri kadar ilerisindedir.
- Dış bölme. P₁ = (0, 0) ve P₂ = (4, 0) için 3 : 1 oranında dıştan bölme ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0) verir; bu, P₂'nin ötesinde bir noktadır.
- 3B'de mesafe. (1, 2, 3)'ten (4, −2, 15)'e farklar 3, −4 ve 12'dir; dolayısıyla d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 ve orta nokta (5/2, 0, 9)'dur.
- Eksik uç nokta. Bir uç nokta (1, 2) ve orta nokta (5/2, 4) ise diğer uç nokta (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6)'dır.
İç ve Dış Bölme
Bir noktanın P₁P₂'yi m : n oranında böldüğünü söylemek, noktanın P₁ ve P₂'ye olan uzaklıklarının m'ye n oranında olduğu anlamına gelir. İç bölmede nokta ikisinin arasındadır ve uzunluğun m/(m + n) kadarı P₁ tarafındadır. Dış bölmede nokta doğru üzerindedir ama doğru parçasının dışındadır: m > n ise P₂'nin ötesinde, m < n ise P₁'in ötesindedir. 1 : 1 oranının dış noktası yoktur, çünkü formül sıfıra bölme yapardı. Bölme noktaları, bir doğru parçasını eşit parçalara ayırmanın, bir ağırlık merkezini bulmanın ve iki bilinen nokta arasında koordinat interpolasyonu yapmanın yoludur.
Sık sorulan sorular
- Mesafe formülü nedir?
- Düzlemde d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ve uzayda buna bir (z₂ − z₁)² terimi eklenir. Pisagor teoremine dayanır: yatay ve dikey farklar bir dik üçgenin iki dik kenarıdır ve mesafe hipotenüsüdür.
- Bir doğru parçasının orta noktası nasıl bulunur?
- Koordinatları ortalayın: iki x değerini toplayıp ikiye bölün, iki y değerini toplayıp ikiye bölün (z için de aynısını yapın). (−2, 3) ve (4, −1) noktalarının orta noktası (1, 1)'dir.
- Diğer uç noktayı ve orta noktayı bildiğinizde bir uç nokta nasıl bulunur?
- Orta noktayı ikiye katlayın ve bilinen uç noktayı her koordinattan çıkarın: P₂ = 2M − P₁. Orta nokta tam ortada olduğundan, bilinmeyen uç nokta, bilinen uç noktanın M'den önce olduğu kadar M'nin ötesindedir.
- Bölme noktası formülü nedir?
- Bir doğru parçasını verilen oranda bölen noktayı verir. m : n oranında iç bölmede nokta (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); dış bölmede (m·P₂ − n·P₁)/(m − n)'dir. Orta nokta, m = n özel durumudur.
- Mesafe için noktaların sırası önemli mi?
- Hayır. Noktaları değiştirmek her farkın işaretini değiştirir, ama farklar karesel alındığı için mesafe aynı kalır. Sıra, bölme noktası formülü için önemlidir, çünkü m : n, P₁'den P₂'ye doğru ölçülür.
- Mesafe neden karekök olarak bırakılır?
- √52 gibi bir karekök kesin mesafedir; ondalık sayı ise yuvarlanmış bir değerdir. Hesaplayıcı karekökü sadeleştirir (√52 = 2√13) ve ondalık karşılığını da verir; böylece kesin değeri bir ispatta, ondalık değeri ise bir ölçümde kullanabilirsiniz.