Calculadora de distância e ponto médio
Insira dois pontos no plano ou no espaço e obtenha a distância entre eles em forma de radical simplificado (com o valor decimal ao lado), o ponto médio e o ponto que divide o segmento em qualquer razão m : n. Troque de modo para encontrar o outro extremo quando você conhecer um extremo e o ponto médio. O cálculo é escrito passo a passo e, em 2D, o segmento é desenhado em escala. Gratuito, sem cadastro.
Números inteiros, decimais ou frações como 3/4.
Resultados
2√13 ≈ 7,211103
Distância
(1, 1)
Ponto médio
52
Distância ao quadrado
O cálculo
d = √(soma dos quadrados das diferenças em x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Fórmula de divisão
(0, 5/3)
Ponto que divide P₁P₂ internamente 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Diagrama
Como usar a calculadora de distância e ponto médio
- 1. Escolha 2D ou 3D e um modo. O primeiro modo mede a distância entre dois pontos; o segundo encontra um extremo a partir de um ponto e do ponto médio.
- 2. Insira as coordenadas. Números inteiros, decimais e frações como 1/2 são mantidos exatos, então uma distância de √13 nunca vira 3,6055.
- 3. Leia a distância e o ponto médio. A distância está em forma de radical simplificado, com uma aproximação decimal; o ponto médio é mostrado como fração ou como número decimal.
- 4. Experimente a fórmula de divisão. Defina m e n e escolha divisão interna ou externa para encontrar o ponto que divide o segmento nessa razão. Em 2D, o segmento, o ponto médio e o ponto de divisão são desenhados.
As fórmulas
| Grandeza | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Distância | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Ponto médio | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Ponto que divide P₁P₂ internamente na razão m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | a mesma, aplicada a cada coordenada |
| Ponto que divide P₁P₂ externamente na razão m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | a mesma, aplicada a cada coordenada |
| Outro extremo, dados P₁ e o ponto médio M | P₂ = 2M − P₁ | a mesma, aplicada a cada coordenada |
A fórmula da distância é o teorema de Pitágoras aplicado às diferenças horizontal e vertical entre os pontos: elas são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento. No espaço, a mesma ideia se aplica duas vezes. O ponto médio é simplesmente a média de cada coordenada, e é o ponto de divisão para a razão 1 : 1.
Exemplos práticos
- Distância e ponto médio em 2D. Para P₁ = (−2, 3) e P₂ = (4, −1), as diferenças são 6 e −4, então d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. O ponto médio é ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Fórmula de divisão. O ponto que divide o mesmo segmento internamente na razão 1 : 2 é ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Ele fica a um terço do caminho de P₁ até P₂.
- Divisão externa. Para P₁ = (0, 0) e P₂ = (4, 0), a razão 3 : 1 externamente dá ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), um ponto além de P₂.
- Distância em 3D. De (1, 2, 3) até (4, −2, 15), as diferenças são 3, −4 e 12, então d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, e o ponto médio é (5/2, 0, 9).
- Extremo que falta. Se um extremo é (1, 2) e o ponto médio é (5/2, 4), o outro extremo é (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
Divisão interna e externa
Dizer que um ponto divide P₁P₂ na razão m : n significa que suas distâncias até P₁ e P₂ estão na razão de m para n. Em uma divisão interna, o ponto fica entre os dois, com m/(m + n) do comprimento do lado de P₁. Em uma divisão externa, ele fica na reta, mas fora do segmento: além de P₂ quando m > n, além de P₁ quando m < n. Uma razão 1 : 1 não tem ponto externo, porque a fórmula dividiria por zero. Os pontos de divisão servem para dividir um segmento de reta em partes iguais, para encontrar um baricentro e para interpolar coordenadas entre dois pontos conhecidos.
Perguntas frequentes
- Qual é a fórmula da distância?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) no plano, com um termo (z₂ − z₁)² acrescentado no espaço. Ela vem do teorema de Pitágoras: as diferenças horizontal e vertical são os dois catetos de um triângulo retângulo e a distância é a hipotenusa.
- Como se encontra o ponto médio de um segmento?
- Faça a média das coordenadas: some os dois valores de x e divida por dois, some os dois valores de y e divida por dois (e o mesmo para z). O ponto médio de (−2, 3) e (4, −1) é (1, 1).
- Como encontrar um extremo quando se conhecem o outro extremo e o ponto médio?
- Dobre o ponto médio e subtraia o extremo conhecido, coordenada por coordenada: P₂ = 2M − P₁. O ponto médio fica exatamente no meio, então o extremo desconhecido está tão distante além de M quanto o extremo conhecido está antes dele.
- O que é a fórmula de divisão de segmento?
- É a fórmula que dá o ponto que divide um segmento em uma razão dada. Para uma divisão interna na razão m : n, o ponto é (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); para uma divisão externa, é (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). O ponto médio é o caso especial m = n.
- A ordem dos pontos altera a distância?
- Não. Trocar os pontos muda o sinal de cada diferença, e as diferenças são elevadas ao quadrado, então a distância é a mesma. A ordem importa para a fórmula de divisão, porque a razão m : n é medida de P₁ até P₂.
- Por que a distância fica como raiz quadrada?
- Uma raiz quadrada como √52 é a distância exata; um decimal é um valor arredondado. A calculadora simplifica (√52 = 2√13) e também mostra o decimal, para que você use o valor exato em uma demonstração e o decimal em uma medição.